形变收缩核

特殊的收缩核

形变收缩核(deformation retract)是一类特殊的收缩核。收缩核是具有特殊性质的子空间。设X为拓扑空间，A是X的子空间，若存在连续映射r：X→A使得当x∈A时，r(x)=x，即r|A=1A(1A为A上恒同映射)，则称A为X的收缩核，称r为收缩映射或保核收缩。

概念

形变收缩核(deformation retract)是一类特殊的收缩核。设X为拓扑空间，AX，若存在收缩映射r：X→A和包含映射i：A→X使得：

则称A为X的形变收缩核，伦移H称为X到A的形变收缩。设A为X的形变收缩核，H：X×I→X是形变收缩，若对于x∈A和t∈I有H(x，t)=x，则称A为X的强形变收缩核。直观地说，A是X的形变收缩核是指X可以连续形变成A，当形变过程中A的点都不变动时，A就是X的强形变收缩核。

拓扑空间

拓扑空间是欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

收缩核

收缩核是具有特殊性质的子空间。设X为拓扑空间，A是X的子空间，若存在连续映射r：X→A使得当x∈A时，r(x)=x，即r|A=1A(1A为A上恒同映射)，则称A为X的收缩核，称r为收缩映射或保核收缩。实际上，收缩映射r是A上恒同映射1A在X上的扩张。若A是它的在X中的某个邻域U的收缩核，则称A为X的邻域收缩核。

核

位势论的基本概念。在位势论中，所谓核，常指一般位势的核(参见“一般位势”)。这时若K(x，y)≥0恒成立，则称K为正核；令K′(x，y)=K(y，x)(K′称为K的转置核)，若K′=K，则称K为对称核；当Ω为阿贝尔群且有K(x，y)=K(x-y)时，则称K为平移不变核；若对于任意有紧支集的μ，有：

则称K为正定核。此外，还有各种广义形式的核，如测度核、广义函数核等。

位势论

现代分析数学领域的一个分支，主要研究各种形式的位势(函数)和与其密切关联的调和函数、上(下、超、次)调和函数族的各种性质及其应用。经典位势论的主要研究工具是微积分，并与微分方程、复变函数论紧密关联；现代位势论以拓扑、泛函分析与测度论、广义函数等为主要工具，与分析数学领域的诸多分支相互渗透并和随机过程建立了深刻的内在联系。位势论起源于物理学的万有引力学说和静电学，远在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力场是一个函数(称为牛顿位势)的梯度。在三维欧氏空间，一个单位质点εy的引力场在点x(x≠y)的牛顿位势等于把一个单位质点从无穷远移到点x所做的功，其值是1/|x-y|。因此，一个质量分布μ的引力场在x的牛顿位势是：

1772年，拉普拉斯(Laplace，P.-S.)证明了，在不分布质量的地方，位势满足拉普拉斯方程。这样，物理问题便化为求解偏微分方程的数学问题。

从18世纪到19世纪末，位势论的研究限于n维欧氏空间上的牛顿位势(n≥3)和对数位势(n=2)，即所谓经典位势论.其中心问题之一是古典狄利克雷问题的求解。1823年，泊松(Poisson，S.-D.)就球域情形给出了解的积分公式; 1828年，格林(Green，G.)对边界充分光滑的有界区域，从物理直观出发并借助于格林函数给出了解；1840年，高斯(Gauss，C.F.)采用变分法解决了平衡问题并得出狄氏问题的新解法。这两个问题与扫除问题相关联，此后一直被称为位势论三大基本问题。855年，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)利用所谓狄利克雷原理给出了解。此外，还有庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)的扫除法，施瓦兹(Schwarz，H.A.)的交错法等。但是，由于缺乏足够的数学工具，这些解法是不严密的，需要附加条件。另外，在这一时期的主要成果还有：1839年，埃恩苏(Earnshaw，E.)证明狄氏解的极值原理；1850年，黎曼把位势论与函数论作统一处理，揭示了格林函数和位势同保形映射之间的密切联系；1886年，哈纳克(Harnack，C.G.A.)建立哈纳克不等式及哈纳克收敛原理.此外，关于诺伊曼问题及多重调和函数的研究也有不少成果。这样，直到19世纪末，位势论的三个基本原理，即极小值原理、收敛性质及狄利克雷问题的可解性已基本建立，它为现代位势论的发展作了很好的准备。

20世纪以来，由于深入应用现代函数论、测度和积分的理论、泛函分析、一般拓扑学、抽象代数、现代概率论的思想和方法，位势论得到蓬勃发展，开辟了新的研究方向，创造了新的方法，成为分析数学领域中比较彻底完成了现代化变革的一个分支，也影响了其他数学分支的发展。

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