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形式幂级数

数学术语

在形式幂级数中，x从来不指定一个数值，且对收敛和发散的问题不感兴趣，感兴趣的是系数序列（a(0),a(1),...,a(n),...），我们研究形式幂级数完全可以归结为讨论这些系数序列，且这些系数序列又可看作含有分量a(0),a(1),...,a(n),...的无穷矢量，系数a(0)称为级数的常数系数。用近世代数的语言来讲，形式幂级数形成一个环，这个环对加法有零元（用0表示），对乘法有单位元（用1表示），如果从某项以后，形式幂级数的所有系数全为零，它被称为形式多项式。

定义
形式幂级数是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。
设x是一个符号， 为实数，则 称为以x为未定元的一个形式幂级数。约定：如果在形式幂级数 中某个 ，则 可略去。
在形式幂级数中，x从来不指定一个数值，且对收敛和发散的问题不感兴趣，感兴趣的是系数序列(a(0),a(1),...,a(n),...)，我们研究形式幂级数完全可以归结为讨论这些系数序列，且这些系数序列又可看作含有分量a(0),a(1),...,a(n),...的无穷矢量，系数a(0)称为级数的常数系数。
运算
我们把形式幂级数看做是收敛的并在其上作代数运算。
已知两个形式幂级数 ，则两级数之间可进行如下运算：
相等
若对所有的n>0，有a(n)=b(n)，则称两形式幂级数相等，有A(x)=B(x)。
和
两形式幂级数的和定义为： 。两形式幂级数的和运算满足交换律和结合律。
乘积
两形式幂级数的乘积定义为： ，称序列{c(n)}为序列{a(n)}与序列{b(n)}的柯西乘积。两形式幂级数的乘积运算对加法满足分配律。
逆元
定义
设有形式幂级数，若存在形式幂级数，使得，则称B(t)是A(t)的一个逆元。
定理
形式幂级数有逆元的充分必要条件是，且若A(x)有逆元，则逆元必唯一。
证明：设A(x)有逆元，因为，所以，从而对任何一个自然数n，有：
因为，所以，把看成未知数，则上述方程组的系数行列式的值。由克莱姆法则可知，若A(x)有逆元，则且逆元唯一。
反之，设，令，则，且，于是，令，则，故是A(x)的逆元，也就是说当时，有逆元。
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