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循环差集

数学概念

循环差集(cyclic difference set)是一类特殊差集，即循环群中的差集，例如，若循环加群Z15的元素记为{0，1，…，14}，则D={0，1，2，4，5，8，10}是一个(15，7，3)循环差集，循环差集和循环对称设计之间有着一一对应关系：当且仅当D是循环群G中的(v，k，λ)差集时，(G，dev D)是一个循环的(v，k，λ)-SBIBD。

基本介绍
设G为v阶Abel群，其运算为加法，设D为G的一个k元子集，λ为给定正整数，若对G中任一非零元g，都有λ个序对 ,使 ,则称D为Abel群G中的一个 -差集 -difference set)。特别，当G为循环群时，称D为G中的一个 -循环差集(cyclic difference set)。
循环差集(Cyclic Difference Set)，有时也简称差集，是一种具有循环性质的对称均衡不完全区组设计，用循环差集构造出来的码具有循环特性，从而可以用循环移位寄存器构造编码器和译码器以简化电路。
定义 以正整数v为模的k个互不同余的整数所组成的集
叫做一个 -循环差集，如果对每一个d≠0(mod v)，恰好在D中有λ个有序对( )，使得
例题与相关定理
【例1】设v=13，则D={1，2，4，10}是一个(13，4，1)-循环差集。可以在模13意义下作如下验证：
1≡2－1 5≡2－10 9≡10－1
2≡4－2 6≡10－4 10≡1－4 ‘
3≡4－1 7≡4－10 11≡2－4
4≡1－10 8≡10－2 12≡1－2
4个元素，它们两两的差值共有4(4－1)=12个，正好是上面所表示的1，2，…，12值。
【例2】设v=11，则D={2，6，7，8，10，11}是一个(11，6，3)-循环差集。
我们可以验证模11下的差值如下：
1≡7－6≡8－7≡11－10
2≡8－6≡10－8≡2－11
3≡10－7≡11－8≡2－10
4≡6－2≡10－6≡11－7
5≡7－2≡11－6≡2－8
6≡8－2≡2－7≡6－11
7≡2－6≡6－10≡7－11
8≡10－2≡7－10≡8－11
9≡11－2≡6－8≡8－10
10≡6－7≡7－8≡10－11
循环差集与循环对称均衡不完全区组设计有一一对应的关系，知道了循环差集的k个基本元素后，就可以将CSBIBD-的各区组写出。我们从例2的差集D写出11个区组
(11，6，3)-循环差集能构造出CSBIBD(11，6，3)。反之，一个循环对称均衡不完全区组设计，必定也对应着一个循环差集。可以用如下定理来说明。
定理 的一个k元集
是一个循环差集的充要条件是:区组
是S上的一个 设计，其中
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