循环扩张

特殊的、结构较清楚的域扩张

循环扩张(cyclic extension)是一类特殊的、结构较清楚的域扩张。设K是域F的有限次伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群G(K/F)为循环群，则称此域扩张为循环扩张，K/F为循环扩域。

概念

循环扩张是一类特殊的、结构较清楚的域扩张。设K是域F的有限次伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群G(K/F)为循环群，则称此域扩张为循环扩张，K/F为循环扩域。设域F的特征数为p>0，K是F上n次循环扩域，若n=mpr，则存在一个子域链：

KK1K2…Kr+1=F，

使得K是K1的m次循环扩域，而Ki是Ki+1(i=1，2，…，r)的p次循环扩域。F的一个p次循环扩域等同于F上一个形如xp-x-a的不可约多项式的分裂域；当F含n次本原单位根，F的特征数为零或p，而pn时，F上n次循环扩域等同于F上形如xn-a的不可约多项式的分裂域。

域论

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）[1]。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

域扩张

域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F.此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：

f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：

g(α1，α2，…，αn)≠0.

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

伽罗瓦扩张

伽罗瓦扩张：在数学中，如果一个域扩张K/k 既是一个正规扩张又是可分扩张，那 K/k 就是一个伽罗瓦扩张。注意正规扩张隐含了 K/k 是一个代数扩张。

对于一个伽罗瓦扩张 K/k，可以定义伽罗瓦群，为所有 K/k 的自同构构成的群。抽象代数，研究代数的具体结构，群、环、域、模，域的可分正规扩张——伽罗瓦扩张。（定义在什么样的物体上可以进行所谓的测量，严格的从数学的公理化出发进行定义）

伽罗瓦扩张是抽象代数中伽罗瓦理论的核心概念之一。伽罗瓦扩张是域扩张的一类。如果某个域扩张L/K既是可分扩张也是正规扩张，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的环自同构群的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为伽罗瓦群，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足伽罗瓦理论基本定理。

伽罗瓦群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。而伽罗瓦群（Groupe de Galois）是与某个类型的域扩张相伴的群。是伽罗瓦理论的重要概念。

域扩张源于多项式，通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式称为伽罗瓦理论，以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名。

伽罗瓦群是伽罗瓦理论的一个重要概念。设K是域F的伽罗瓦扩域，K的F自同构群G(K/F)称为K/F的伽罗瓦群。当K为F可分闭包时，G(K/F)称为F的绝对伽罗瓦群。若K是F的一个有限次伽罗瓦扩域，则G(K/F)是一个[K∶F]阶群。由于有限次伽罗瓦扩域等同于某一可分多项式的分裂域，因此，若域K是域F上一个可分多项式f(x)的分裂域，则其伽罗瓦群G(K/F)就称为f(x)的伽罗瓦群，从而有限次伽罗瓦扩域的伽罗瓦群必为某一多项式的伽罗瓦群。在历史上，是伽罗瓦(Galois，E.)首先对多项式引入伽罗瓦群的概念。

数学中，伽罗瓦群（Groupe de Galois）是与某个类型的域扩张相伴的群。域扩张源于多项式，通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式称为伽罗瓦理论，以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名。

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