循环模

特殊的有限生成模

模是一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。抽象代数学的重要组成部分之一，主要研究环上的模。模的概念本质上是域上向量空间的直接推广。早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾经考虑过多项式环上的模，20世纪20年代，诺特(Noether，E.)曾一再提出过模的重要作用。

概念

循环模(cyclic module)是一类特殊的有限生成模。可由一个元素生成的A模M称为循环模(A是有单位元环)，即，有x∈M，使得M=Ax成立。环A作为A模是循环模。A模M是循环模的充分必要条件是MA/I，其中I为A的一个左理想。

模

模是一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射

μ： A→End(M)，　a→aM.

特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA。若A有单位元1，且又满足条件

4.1x=x (x∈M);

则称M为酉模或幺模。

模论

抽象代数学的重要组成部分之一，主要研究环上的模。模的概念本质上是域上向量空间的直接推广。早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾经考虑过多项式环上的模，20世纪20年代，诺特(Noether，E.)曾一再提出过模的重要作用。交换环上的模在代数几何中有重要作用，非交换环特别是群环上的模就是群的线性表示，域上的模就是向量空间.到了20世纪40年代，由于环论的需要和同调代数的兴起，模论得到了进一步发展.近30年来，已成为同调代数、群论、环论、代数K理论、范畴论等分支学科研究中不可缺少的工具，并在其他数学分支，如代数几何、拓扑学、泛函分析甚至微分方程等领域里得到了较广泛的应用.现代模论已成为内容丰富、文献浩繁的代数学的一个独立分支.

有限生成模

模论的基本概念之一。指可以表示出A模M中任一个元的M的一组元素。考虑环A模M时，A的元称为纯量，A称为M的系数环或基环，运算A×M→M称为纯量乘法，ax称为x的纯量倍，它的全体记为Ax。对M的一簇元素{xλ}λ∈I，形式为：

的元的全体N是包含全部xλ(λ∈I)的M的最小子模，它等于和：

称N由{xλ}λ∈I所生成，而{xλ}λ∈I称为N的生成系。若I是可数集，且M由{xλ}λ∈I生成，则称M为可数生成模。当I是有限集，且M=Ax1+Ax2+…+Axn，称M为有限生成模，此时任x∈M有表示式：

x=r1x1+r2x2+…+rnxn，　r1，r2，…，rn∈A.

模M是有限生成当且仅当对M的每一个子模集{Ai|i∈I}，若有：

则存在有限子集I0I，使得：

环

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环(参见第一卷《布尔代数》)。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

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