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微分中值定理

数学定理

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。

罗尔定理
内容：
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得 f'(ξ)=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。
拉格朗日定理
内容：
如果函数 f(x) 满足：
1、在闭区间[a,b]上连续；
2、在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
（或存在0＜h＜1，使f(b)-f(a)=f′[a+h(b-a)](b-a) 成立）
拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线
柯西定理
内容：
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
中值定理分为： 微分中值定理和积分中值定理。
以上三个为微分中值定理。
定积分第一中值定理为：
f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）
注：积分中值定理可以根据介值定理推出，所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
泰勒公式
内容 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
推论：麦克劳林公式
内容：
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0＜θ＜1.
达布定理
内容：
若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.
推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。
洛必达法则
内容：
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于∞；
(2)当|x|＞N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
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