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一阶微分形式不变性

数学名词

一阶微分形式不变性是指：无论u，v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分形式是一样的。此性质的好处是：一方面是可以不用区分变量直接利用一元函数的微分性质计算；另一方面是不用区分变量是自变量、因变量还是中间变量，以及它们的结构问题就可以利用微分性质直接计算。

定义
若以和为自变量的函数可微，则其全微分为
如果，作为中间变量又是自变量的可微函数
由于复合函数是可微的，其全微分为
由于又是的可微函数，因此同时有
将（3）式代入（1）式，得到与（2）式完全相同的结果。这就是关于多元函数的一阶（全）微分形式不变性。
这是一阶全微分的一个非常重要的性质，有了这个“形式不变性”作保证，对于一个函数就可以按照是自变量去求它的微分，而无需顾忌究竟真的是自变量，还是一个随自变量变化的中间变量。
在微积分的教与学的过程中，利用这个性质求解较复杂的多元函数特别是复合函数，隐函数的偏导数，实用方便，简单易行。
应用
隐函数存在定理是微积分中的难点，一般的教材介绍这一部分时，尽管对定理的证明不做要求，但是推导偏导数的过程复杂，公式繁多，导致许多学生在求隐函数的偏导数时，常会出错，但若利用一阶微分的形式不变性对方程两边同时求微分，则可减少此类错误。
隐函数存在定理1
设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，且，。则方程在点的某一领域内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有
证明 设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，且，则函数可微。于是。由于连续，且，由连续函数的保号性，存在的某一领域，在该领域内，。于是可得结论成立。
隐函数存在定理2
设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，且，。则方程在点的某一领域内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有
证明 设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，且，则函数可微。于是。由于连续，且，由连续函数的保号性，存在的某一领域，在该领域内，。于是得，由一阶全微分形式不变性，可知结论成立。
隐函数存在定理3
设函数在点的某一领域内有对各个变量的连续偏导数，且，，且偏导数所组成的函数行列式（或雅克比行列式）
在点不等于零，则方程组，在点的某一领域内能惟一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有
证明 设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，则函数可微。于是
当偏导数所组成的函数行列式（或雅克比行列式）
在点不等于零时，由连续函数的保号性，存在的某一领域内，于是由Gramer法则得
由一阶全微分形式不变性可得结论成立。
复合函数的中间变量均为一元函数的情形
设函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：
证明都可微，因此，由一阶微分形式不变性可得
从而
所以上述结论成立。
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
设函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：
证明都可微，因此，由一阶微分形式不变性可得
从而
所以上述结论成立。
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