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忠实函子

满函子的对偶概念

忠实函子(faithful functor)亦称信守函子，是满函子的对偶概念。设F：C→D为函子，若τ，σ∈HomC(A，B)，τ≠σ，必F(τ)≠F(σ)，则称F为C到D的忠实函子。类似地可定义反变忠实函子。包含函子当然是忠实函子，嵌入函子也是忠实函子。

定义
定义1 设F:ℂ→𝔹为共变(反变)函子，若对任意的 以及任意的 ，在 时必有 ，则称F为忠实函子(faithful functor)。否则称F为不忠实函子，注意函子的忠实性是对态射而言的。
定义2 设F是由范畴ℂ到𝔹的函子，若对于ℂ的每对对象都能使到中的映射是单射，则称F为忠实函子(faithful functor)。
性质
忠实函子与忠实函子的复合为忠实函子。
其他函子
定义3 设F是由范畴ℂ到𝔹的函子，若对于ℂ的每对对象都能使 到 中的映射 是满射，则称F为满函子(full functor)。
例1(1)设𝔻是范畴 的子范畴，则𝔻到ℂ 的、使𝔻的每个对象A映射到(ℂ的)对象A，且使𝔻的每个态射f映射到(ℂ的)态射f的映射F作成一个由𝔻到ℂ 的单射函子(injection functor)。
(2)由群范畴Grp到集范畴Set的函子F：它是一个使群的对象类映射入群的基集，使群的同态射映入相应的映射的映射。
(3) 取任一单元环 ，则它具有两种代数结构：加群 及单元半群 ，此外，一个环同态同时也是一个加群同态和一个单元半群同态，按照上述方法可得到由Ring到Ab的函子及由Ring到Mon的函子。
(4) 积范畴ℂ×𝔻到范畴ℂ中的射影函子(projectionfunctor)：它是将ℂ×𝔻的对象 映射到 的对象A，将 映射到 的映射 。
分析：(1)由范畴ℂ的子范畴𝔻到ℂ的单射函子是忠实函子；它是满函子当且仅当𝔻是ℂ的满子范畴。
(2)、(3)的由Grp到Set、由Ring到Ab及由Ring到Mon的函子都是忠实的，但却不是满函子。
(4)由ℂ×𝔻到ℂ的射影函子是满的但却不是忠实的。
如果 使 ，且 对任意的ℂ中态射成立，则F称为恒等(单位)函子(identity functor)。容易看出，恒等函子是忠实函子。
相关概念
具体范畴
在范畴论的应用中，特别是在同调代数中，最感兴趣的是所谓“具体范畴”(concrete category)。通常认为：若范畴 的对象都是集合，且态射首先是集映射，则 为具体范畴，对这种范畴 中任意的对象A，以 表示A的基础集(即将A只看作集合)。于是
且 。容易看出， 也是一个共变的忠实函子。于是，更一般地，若有从范畴ℂ到 的忠实函子 ，则称ℂ为一个具体范畴。
当具体范畴 的对象都具有某些结构时，比如拓扑群范畴 中的对象都有拓扑结构与群结构，上述的 起着“忘却ℂ中对象的结构，只看作集合，态射也只看作集映射”的作用，特称为底函子(forgetful functor)。有时，将忘却部分结构的函子称为部分忘却函子，比如忘却拓扑群的拓扑结构，只注意群结构，则得 到G的部分忘却函子。
范畴生成子
范畴生成子(generator of a category)是范畴的一个特殊对象，范畴C中使 为忠实函子的对象A称为它的一个生成子。换句话说，对任意的C中对象X，Y，若 ，且 ，则必有 使 ，这时就称A为C的一个生成子。对偶地可定义上生成子的概念，即C中使 为忠实函子(即对上述的 ，必有 使 )的对象A称为它的一个上生成子，A为C的上生成子等价于A为C的对偶范畴C°的生成子。
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