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总统证法

勾股定理的证明方法

学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有600余种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

来源
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们：“你们在干什么?”只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
证明
他是这样分析的，如图1所示：
∵S梯形ABCD=(a+b)
=(a+2ab+b),
又∵S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△DEC=ab+ba+c=(2ab+c)
∴c=a+b.
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
证法
由直角梯形面积公式，得：
直角梯形ABCD面积：S=(a+b)*(a+b)/2
=(a+b)2/2
又∵ADE面积：=ab/2
CBE面积：=ab/2
CDE面积：=c2/2
∴直角梯形ABCD面积：S=++
=ab/2+ab/2+c2/2
=(2ab+c2)/2
∴ (a+b)2÷2=(2ab+c2)÷2
∴ (a+b)2=2ab+c2
∴a2+b2+2ab=2ab+c2
∴ a2+b2=c2
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