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全微分方程

数学术语

全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。

定义
一阶显式方程
可以改写成关于 和 的对称形式
(1)
这种形式有时便于求解。这里 和 在某一矩形域 内是 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。
如果存在一个二元函数 使得该方程的左端恰好是它的全微分，即有
则称其为全微分方程（或恰当方程），而函数 是 的原函数。
全微分方程的通积分形式
当方程 是全微分方程时，它可写成 ，于是其通积分就是
(2)
其中 为任意常数。
事实上，设 是原方程的解，则有
即有
对 积分得到
这表明满足方程(2)。
反之，设是函数方程(2)的解，即它是由(2)所确定的隐函数，则有
对微分得到
即
这表明满足方程(1)。
因此全微分方程的通积分形式是。
根据上述表述，为了求解方程(1)，只要求出的一个原函数，就可得到方程(1)的通积分(2)。
全微分方程的判别与求解
①如何判别方程(1)为全微分方程，这个问题在数学内早有结论，即
方程(1)是全微分方程的充分必要条件是
在矩形域内成立。
②如果已判定方程(1)为全微分方程，如何求出相应全微分的原函数，这个问题在数学分析中也已经得到解决，最常用的方法是不定积分法。
因为所求的原函数适应方程组
首先由第一个式子出发，把看成参数，两边对积分，得
其中是的任意可微函数，而且要选择适当的，使满足第二个式子。为此，将其代入第二个等式得
即
两边对积分，即可得到，再代回之前的积分，即可得到。
但对于某些特殊的全微分方程，为了求出相应全微分的原函数，还可以采用相对简单的“分组凑全微分”的方法，即把方程的左端各项进行重新组合，使每个组的原函数容易观察得出，从而可以写出。
而对于不是全微分的方程，可以采用积分因子使其成为全微分方程，再根据以上方法求解。
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