截交线

几何领域名词

截交线是指当一平面 P 将一立体截切后在立体的表面上形成的交线，同时，平面 P又被称作截平面，因此截交线的形状就受到两个相对位置的影响，其一是立体的表面形状及与平面 P 的相对位置，其二是平面 P，即截平面和投影面两者的相对位置。它是画法几何研究的内容之一。

定义

截交线 line of section

平面与空间形体表面的交线。它是画法几何研究的内容之一。当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线,当空间形体表面由若干个平面组成时,截交线是一个多边形。在给定平面和空间形体的相对位置后，从多面正投影图中可以容易地画出平面和空间形体的投影，但它们截交线的投影一般不能直接画出，通常需要采用辅助面法先求出截交线上若干点的投影，然后再将它们连接成截交线。

例如图1中圆锥台和空间形体上的斜面相交,须用辅助面法求取截交线上的点。辅助面法是先选取某个面作为辅助面（图1中是水平面），然后作出辅助面和斜面的交线、辅助面和圆锥的交线。图1中这两条交线分别是直线和圆。最后作出两交线的交点。所得到的交点就是截交线上的点。改变辅助面的位置，重复上述作图过程，则能获得足够数量的点，连接成截交线。运用辅助面法的关键在于选择合适的辅助面，辅助面和空间形体的交线投影应是直线或者是圆。当空间形体的表面为平面时，其截交线是多边形，只须用辅助面法求出多边形的各顶点即可连成截交线。

基本性质

截交线的基本性质

（1）共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点也都是它们的共有点。

（2）封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是封闭的平面图形。

根据截交线性质，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接即可。求截交线的方法，既可利用投影的积聚性直接作图，也可通过作辅助线的方法求出。

截交线的形状

截交线的形状取决于立体的几何性质极其与截平面的相对位置，通常为平面折线、平面曲线或平面直线组成。

当平面与片面立体相交时，其截交线为封闭的平面折线。当平面与回转提相交时，其截交线一般为封闭的片面曲线或平面曲线和直线围成的封闭的平面图或平面多边形。

画截交线的一般方法与步骤

求画截交线就是求画截平面与立体表面的一系列共有点。求共有点的方法通常有：

（1）面上取点法：平面与立体相交，截片面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，利用积聚性采用面上取点法，求出截交线上共有点的另外一个或两个投影，此方法称为面上取点法。图2所示为一正放的正三棱柱被正垂面P截切，由于截平面P是正垂面，截交线的正面投影可直接确定（即积聚在截平面的有积聚性的同面投影上），截交线的水平投影积聚在正三棱柱各侧棱面水平投影上，故由截交线的正面投影和水平投影可求出其侧面投影。

（2）线面交点法：平面与立体相交，截平面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，求立体表面上的棱线或素线与截平面的交点，该交点即为截交线上的点（共有点），此方法称为线面交点法。

具体作图步骤为：

（1）找出属于截交线上一系列的特殊点；

（2）求出若干一般点；

（3）判别可见性；

（4）顺次连接各点（成折线或曲线）。

截交线及实例

简介

工程上常遇到各种各样的曲面，其中圆锥面占有特殊且重要的地位。平面截切圆锥形成的截交线—圆、椭圆、双曲线、抛物线，这些圆锥曲线与人类的生产实践密切相关,应用范围比较广泛。工程上常遇到表面有交线的零件。为了完整、清晰的表达出零件的形状以便正确的制造零件，应正确的画出交线。交线通常可分为两种，一种是平面与立体表面相交形成的截交线。另一种是两立体表面相交形成的相贯线。

交线是零件上平面与立体表面或两立体表面的共有线，也是它们表面间的分界线。由于立体由不同表面所包围，并占有一定空间范围，因此，立体表面交线通常是封闭的，如果组成该立体的所有表面，所确定立体的形状、大小和相对位置已定，则交线也就被确定。

立体的表面交线在一般的情况下是不能直接画出来的（交线为圆或直线时除外），因此，必须先设法求出属于交线上的若干点，然后把这些点连接起来。

圆锥截交线及其形状

圆锥截交线，顾名思义，即是圆锥与平面相交所产生的一条封闭性平面曲线或由曲线和直线共同围成的平面图形。假设圆锥母线和圆锥轴线之间的夹角为 α，（α 为半锥角，一般情况下，对于一个确定的圆锥来说，α 是一个常数），设截平面 P 和圆锥轴线之间的夹角为 θ（θ 的大小范围是0° ≤ θ ≤ 90°），如图3中(d) 所示。根据截平面 P 与圆锥面两者的相对位置，可以确定圆锥截交线的形状有以下 5 种（如图3所示）：

①如图3中(a) 所示，若截平面 P 恰好过圆锥的顶点，则形成的截交线是圆锥面上的两条素线。

②如图3中(b) 所示，若截平面 P 与圆锥轴线垂直，即 θ=90° 时，所形成的截交线则是一个纬圆。

③如图3中(c) 所示，若截平面P斜交于圆锥的轴线，即θ=α时，所形成的截交线则是一个抛物线。

④如图3中(d) 所示，当截平面 P 斜交于圆锥的轴线，且当0° <θ<90°时，形成的截交线是一个椭圆。

⑤如图3中(e) 所示，当截平面 P 斜交于圆锥的轴线，且 0° <θ<α 时，所形成的截交线则是一个双曲线。

应用数学理论论证圆锥截交线的具体形状

先建立相应的坐标系，假设截平面 P 在 Z 轴上截距为 b，则可以确定圆锥的方程式为，截平面 P 的方程为。则出现以下几种情况：

（1）若截平面 P 过圆锥的顶点，则此时的，将其代入得：，且有 cot θtan α-1>0，即截交线是圆锥面上的两条素线。

（2）若截平面垂直于圆锥轴线。此时 θ=90 °，z=b 将其代入，结果显示截交线是一个圆。

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