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截断误差

科学计算术语

由实际问题建立起来的数学模型，在很多情况下要得到准确解是困难的，通常要用数值方法求它的近似解，例如常把无限的计算过程用有限的计算过程代替，这种模型的准确解和由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差。因为截断误差是数值计算方法固有的，因此又称方法误差。

误差来源
一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的。
(1)从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确”、“完美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差。
(2)在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不带误差，这种误差称为观测误差。
(3)在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有限过程代替无限过程的误差，称为截断误差，这是计算方法本身出现的误差，所以也称方法误差。
(4)在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无穷小数，但计算时只能对有限位数进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差。
截断误差定义
在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们需用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为截断误差，因为截断误差是数值计算方法固有的，因此又称方法误差。
例如，函数可展开为无穷幂级数：
若取级数的起始若干项的部分和作为时函数的近似计算公式，例如取
则由于它的第四项和之后的各项都舍弃了，自然就产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起的后段而产生的截断误差。
作近似计算时，截断误差为
其中，在0与之间。
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