截锥体

数学术语

截锥体(truncated cone)是一种与锥体有关的多面体，指由平面截锥体而得的另一个锥体。锥体被不过顶点且与锥体母线都相交的平面所截，留下的在截面和底面间的锥体部分。

基本概念

截锥体是一种与锥体有关的多面体，指由一平面去截一锥体而得的另一个锥体。锥体被不过顶点且与锥体母线都相交的平面所截，留下的在截面和底面间的锥体部分。常见的截锥体有圆台，棱台等，例如圆台体（图2（b））：直角三角形ABC绕直角边AC旋转一周，斜边AB形成的空间轨迹所包围的几何体就是一个圆锥体，如图2(a)所示。AB形成的表面叫圆锥面，AB为圆锥面的素线或母线。若圆锥体的顶端被截去一部分，就成为圆锥台或截锥体，如图2(b)所示。

截锥体举例

圆台(平截圆锥体)

圆台亦称正圆台或平截圆锥体，是一种特殊的台体，中国古算书称圆亭、由平行于圆锥底面的平面截去圆锥上部小圆锥后留下的几何体。截面和圆锥的底面称为圆台的上、下底面，圆锥的轴、母线和侧面的留下部分称为圆台的轴、母线和侧面，轴长称为圆台的高。圆台也是直角梯形(如图3中的梯形O1O2B2B1)绕一直角边旋转一周而生成的几何体，图3中⊙O1，⊙O2分别为圆台的上底、下底，A1A2，B1B2等为圆台的母线，线段O1O2的长为圆台的高。

圆台的主要性质是：

1.圆台的两个底面都是圆，它们所在的平面平行。

2.平行于底面的截面都是圆。

3.圆台的母线都相等，它们延长相交于轴上同一点。

4.圆台的轴过两个底面的圆心，并且垂直于两底面，连结两底面圆心的线段的长等于圆台的高。

5.圆台的轴截面是等腰梯形，它的两腰是圆台的两条母线，它的上、下底分别是圆台的上、下底面圆的直径。

6.圆台的高、一条母线和经过这条母线两个端点的上、下底面半径组成一个直角梯形。

斜截圆锥体

斜截圆锥体是一种截圆锥体，用与所有母线均相交，且不与底面平行和相交的平面截去圆锥的锥尖部分，余下的封闭几何体称为斜截圆锥，如图4，图5为其三视图。截交线为椭圆，再画截交线的投影时，需先求出若干个共有点的投影，然后将它们依次光滑连接起来，才能获得截交线的投影。

棱台(平截棱锥)

棱台亦称角台或平截棱锥，是一种特殊的台体。即被截锥体是棱锥的台体。棱台底面的边是棱台的底棱。棱锥被截时，侧面余下的梯形称为棱台的侧面，相邻侧面的交线称为侧棱，棱台侧面梯形的高都称为棱台的斜高，一般情况下各斜高不等.由三棱锥、四棱锥……n棱锥(n≥3，n∈N)截得的棱台分别称为三棱台、四棱台……n棱台.棱台用它的两底面的顶点字母表示，例如，五棱台记为棱台ABCDE-A′B′C′D′E′，或简记为棱台AC′。

棱台的主要性质有：

1.两个底面是相似多边形。

2.各侧棱的延长线交于一点。

3.侧面都是梯形。

4.对角面是梯形。

5.与棱台底面平行的截面是和底面相似的多边形。

斜截棱锥

斜截棱锥与平截棱锥（即棱台）的区别是：平截棱锥的截面平行于底面，而斜截棱锥的截面是不与底面平行和相交的平面，如图7为斜截棱锥的正视图和俯视图。

体积计算

截锥体的体积可用公式计算，也可用定积分计算。

【例1】设有一截锥体，其上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，高为h，求这截锥体的体积。

解建立坐标系，过y轴上y点作垂直于y轴的半面，则平面与截锥体的截面为椭圆，易得其长短半轴分别为