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截面曲率

数学术语

截面曲率(是)亦称黎曼曲率，在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式，也是曲面高斯曲率的推广。

简介
截面曲率 依赖于 点的切空间里的一个二维平面 。它就定义为该截面，考虑在p点以平面 作为切平面的曲面 ，这曲面是收集流形中某包含 的邻域内从p点出发的测地线且这测地线在 点的切向量属于截面 （换句话说就是其中 是 里包含原点的邻域），而截面曲率 就是曲面 在 点的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。
截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。
定义
设为黎曼流形， 为上点处切空间中的二维平面，和为 中两个线性无关的向量。 则关于的截面曲率定义为：
其中是的黎曼曲率张量。
常截面曲率流形
常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况：
1) 负曲率−1，双曲几何；
2) 零曲率，欧几里得几何；
3) 正曲率+1，椭圆几何。
三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。
性质
1. 完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数对于所有点p是一个1-凹函数。
2. 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数是1-凸函数。
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