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扰动理论

摄动理论

扰动理论，即摄动理论使用一些特别的数学方法来对于很多不具精确解的问题给出近似解，这些方法从相关的较简单问题的精确解开始入手。摄动理论将原本问题分为具有精确解的较简单部分与不具精确解的微扰部分。摄动理论适用的问题通常具有以下性质：通过加入一个微扰项于较简单部分的数学表述，可以计算出整个问题的近似解。

简介
摄动理论使用一些特别的数学方法来对于很多不具精确解的问题给出近似解，这些方法从相关的较简单问题的精确解开始入手。摄动理论将原本问题分为具有精确解的较简单部分与不具精确解的微扰部分。摄动理论适用的问题通常具有以下性质：通过加入一个微扰项于较简单部分的数学表述，可以计算出整个问题的近似解。
摄动理论计算出来的解答通常会表达为一个微小参数的幂级数级数：
在这例子里，是简单又有“精确解”的问题的精确解，代表由某种系统程序反复地找到的高阶项目修正。因为的值很微小，这些高阶项目修正应该会越来越不重要。
微扰阶数
摄动理论的标准阐述主要是以微扰的阶数来分辨：一阶摄动理论或二阶摄动理论。再来就是以微扰的简并度来分辨：无简并或有简并。有简并的摄动，又称为奇异摄动（singular perturbation），比较难解，必须用到更进阶的理论。
一阶无简并摄动理论
本段落讲述微分方程的一阶微扰理论。为了简单易解，假设零微扰系统的解答是不简并的。
一阶本征值修正
许多常微分方程或偏微分方程可以表达为
其中，是某特定微分算子，是其本征值。
假设微分算子可以写为
其中，是微小的度量。
又假设我们已知道的解答的完备集；其中，解答是的本征值为的本征函数。用方程表达，
还有，这一集合的解答形成一个正交归一集：
其中，是克罗内克函数。
取至零阶，完全解应该相当接近集合里一个零微扰解。设定这零微扰解为。用方程表达，
其中，采用大O符号来描述函数的渐近行为。
完全解的本征值也可近似为
将完全解写为零微扰解的线性组合，
其中，除了以外，所有的常数的值是；只有的值是。
将公式 (2)代入公式 (1)，乘以，利用正交归一性，可以得到
这可以很容易地改变为一个简单的线性代数问题，一个寻找矩阵的本征值的问题：给予，求；其中，是矩阵元素：
我们并不需要解析整个矩阵。注意到线性方程里的每一个都是；只有的值是。所以，取至一阶，线性方程可以很容易地解析为
这就是一阶摄动理论的本征值解答。一阶本征值数修正是
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