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投射模

数学术语

投射模是比自由模更一般的模，它是内射模的对偶概念，设P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同构于自由A模，则P称为投射A模。这等价于:函子HomA(P,-)是正合的；也等价于：对每个满同态f:M→N，及每个同态γ:P→N，一定有同态r:P→M，使得f°r=γ成立。对右A模有类似的定义与性质，任意左A模M必是某一左A投射模的商模；环A作为A模当然是投射模，自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模，反之都不一定成立，当环A是主理想整环时，每个投射模都是自由模。塞尔(Serre,J.P.)于1955年曾提出一个著名的猜测(塞尔猜测)：域F上的多项式环F[x1,x2,…,xe]上的每个有限生成的投射模是否是自由模？奎伦(Quillen,D.G.)和苏斯林(Суслин,М.Я.)几乎同时于1976年用不同方法给以解决(他们得出更强的结果，即只要限制F为主理想整环即可)，另外，交换诺特局部环上每个有限生成的投射模也是自由的，这个结果首先由卡普兰斯基(Kaplansky,I.)于1958年得到，投射模在模论、同调代数、代数K理论中有重要应用。

概念
定理1
(1)对于模 ，下列命题是等价的：
①每个单同态
分裂(i.e. Im( )是B的直和项)。
②对每个单同态 ： 及同态 ，存在一个同态 使得 。
③对每个单同态 ： ，
是满同态。
(2) 对模 ，下列命题是等价的：
① 每个满同态 分裂(i.e. Ker( )是B的直和项)。
② 对每个满同态 ，和每个同态 ， 一个同态 ，使得 ．
③ 对每个满同态 ，
是一个满同态。
定义
(1)满足定理1中(1)的条件的模 叫作内射R-模。
(2)满足定理1中(2)的条件的模 叫作投射R-模。
相关定理与推论
推论1
(1)Q是内射模，并且 也是内射模。
(2)P是投射模，并且 也是投射模。
定理2
(1)令 ，则有：Q是内射模 ( 是内射的)
f∈，
(2)令 或 ，则有：P是投射模 ( 是投射的)
定理3
一个模是投射的 它同构于自由模的直和项。
证明：由定理3，每个自由模是投射的。由上同构于自由模的直和项的模也是投射的，为证其逆，设P是一个投射模，令 是自由模F到P上的满同态，P是投射模，故 分裂， 。于是 同构于P。
对于这个定理。没有关于内射模的对偶定理。由这个定理，投射模的理论就简化为自由模及它的直和项的性质问题，众所周知，由于每个自由 -模的子模仍是自由的，于是得到以下推论。
推论2
每个投射 -模是自由的。
定理4
对于投射模的研究，一个重要的引理就是对偶基原理，它在投射模理论中的地位类似于基在自由模理论中所处的地位。
(对偶基引理)下列性质是等价的：
(1) 是投射的；
(2)对于P在R上的每个生成元集 ，则 的子集 满足：
① ，仅对有限多个 成立 。
② ， 。
(3)存在子集 和 使①与②成立。
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