折线

多条线段顺次首尾依次相接组成的曲折连线

折线指的是多条线段顺次首尾依次相接组成的曲折连线，也可以说折线是把不在一条直线上的几个点(称为端点)，依次用线段连接起来(每个公共端至多有两条线段相连)所构成的图形。当起点(第一个点)与终点(最后一个点)重合时，它就是封闭折线,即多边形。有时，函数的图象就是一条折线。

定义

定义一

平面上若干条线段顺次首尾相接(每条最多同另外两条联结且端点不在另外线段内部)构成的图形，称为(平面)折线；如折线每边都有两邻边，就叫(封)闭折线，否则，叫开折线．这样就可对折线进行初步的分类和对几个常用概念给予明确的界定：边不相交的折线为简单折线，简单闭折线叫作多边形。多边形划分平面为两部分，有限部分叫内部，无限部分叫外部。用归纳法易证：n边形内部可用不相交对角线，划分为以其顶点为顶点的互不重叠的n一2个三角形，从而可直接推出内角和定理。且可提出如下几个方面的问题（以下问题更多内容请参考相应参考文献）：

(1)折线整体性质的研究：拓扑和其他结构特征、复杂性指标、组合计数问题、合成与分拆、有关度量性质研究等；

(2)特殊折线的研究：如直角折线、等角或等边折线、平行多边折线、具有某种特征的折线(短程线、遍历折线)的存在和构造问题；

(3)圆与凸多边形内接折线(如星形折线)的研究等。

定义二

折线是一种几何图形，指不全在同一直线上的几条线段顺次首尾相接组成的图形(如图1，图2)。各线段称为折线的边或折线的节；折线各边长之和称为折线的长；各线段的端点称为折线的顶点；相邻两个顶点称为邻顶点；不是两条线段公共端点的两个顶点都称为折线的端点；两端点重合(实际上即无端点)的折线称为封闭折线(图2)；组成折线的所有线段都在同一平面内的折线称为平面折线，否则称为空间折线；凡不相邻的两边不相交的折线称为简单折线；把一条平面简单折线的任一条边向两方延长成直线，如果能使这条折线的其他各边都在这条直线的同侧，那么这条平面折线称为凸折线；连结非封闭折线的两个端点的线段称为折线的锁线。

定义三

在同一平面上，由不在同一条直线上的几条线段，顺次首尾相接组成的图形。如图3中的ABCDE和PQRSTP都是折线。折线的起点和终点称为端点，如果一条折线的两个端点重合，这条折线叫做封闭折线。如图4中折线PQRSTP为封闭折线。

特征性质

为了弄清折线的特征性质，观察图5，看闭折线的边，，，，它们的邻边折向有不同的情况(图6)：：和的两邻边都折向异侧，而和两邻边折向同侧，前者叫双折边，后者叫单折边。双折边又有不同：如在邻边加上向外的力，它会向右旋转故称右旋边，类似地称为左旋边，这种由于在顶点“拐弯”而形成的边的折性确实是折线的特征性质，这由如下命题即可知晓。

命题1(折线特征性质) 闭折线如有双折边则必有偶数条，左右旋边各半且相间排列。

比如，在处左拐，则在处必须右拐，才能使为双折边(右旋边)。如要生成下一条双折边，又必须在某处，比如处左拐，从而使成为左旋边。因此命题似乎成立，但证来颇不易，直到发现了边的“双标号”法才给出了证明，如称顶点处劣角为顶角，则知有：

命题2 有双折边的闭折线，顶角和不定。

如图7所示的“蝶形”，其顶角和

但这种蝶形有一个优良性质，即，这是求折线顶角和的一个“转移”工具。

由两个命题可推出一系列重要事实，如奇数条边的封闭折线至少有一条单折边、多边形为凸的充要条件是无双折边，等，且一眼可看出很多折线的规律性。

如图8所示的开折线中：(a)是回形折线，无双折边；

(b)为齿形折线，单双相间；

(c)为阶形折线，无单折边。

而且可看出如图9所示的两种星形中的(a)是回式星形，全由单折边构成；(b)为阶式星形，全由双折边构成，且知前者顶角和为，后者顶角和不确定。

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