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抛物线法

二次插值法

抛物线法(parabolic approximate method)又称二次插值法。用二次插值函数逼近未知函数而求解问题的方法。在结构优化方面系利用搜索 区间内三个点的坐标和函数值构造二次函数来逐步逼近原一元函数，使搜索区间逐步缩小并进而找到近似极小点的一维搜索方法。也是一种常用的方法。设搜索区间两端点为a和b，其间有一点c， 相应的函数值分别为φd、φb和φc， 用它们构造一 个二次函数并解析地求得其极小点d，算得d点的函数值φd后， 可根据c、d的相对位置和φc与φd的大小确定留下具有搜索区间应有性质的区间， 重复这个过程，使所留区间充分小，从而求得原一元函数的近似极小点。

基本介绍
设方程 的3个近似根为 ，我们以这三点为节点构造二次插值多项式 ，并适当选取 的1个零点 作为新的近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法，也称为密勒(Miller)法。
几何意义
在几何图形上，这种方法的基本思想是用抛物线 与x轴的交点 作为所求根 的新近似根（图1）。
计算公式推导
现在推导抛物线法的计算公式，用方程 的近似根 作插值多项式
则 有两个零点
式中
为了从式(1)定出1个值 ，我们需要讨论根式前正负号的取舍问题。
在 3个近似根中，自然假定 更接近所求的根 ，这时，为了保证精度，我们选式(1)中较接近 的1个值作为新的近似根 。为此，只要取根式前的符号与 的符号相同即可。
抛物线法的收敛定理
关于抛物线法有如下收敛定理。
定理1 设为方程的单重根，的三阶导数在根的邻域里连续，则存在的一个适当小的邻域当时，由抛物线法产生的序列收敛于，且有
例题解析
用抛物线法求解方程 。
解： 设 选取方程 的3个近似根 作为初始值，计算得
故
从而由式(1)可得
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