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抽象函数

数学术语

抽象函数是一个数学术语。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图像集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。

函数介绍
一般形式
不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为 ，或许还附有定义域、值域等，如：, 。
抽象函数分类
幂函数：；
正比例函数：；
对数函数：；
指数函数：；
三角函数： 其中 ；
周期为的周期函数：。
证明的例子
例 1 函数为满足的函数，且在定义域上单调递增，且。求证：。
证明 定义域：相同
∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)
∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k个x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k个f(x)】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2时f(x^k)=k) ①
f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k个(1/x)】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k个】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2时，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）
f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2时，f(x^k)=k=0)
∴f(2^k)=k,k∈Z②
∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)
∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0
又∵② ∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m对所有有理数成立 ③
任取z∈R，{1}若f(2^z)2^z(由于单调性以及③)，
在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n为有理数，n>0,
f(q)=z-n0矛盾，导出矛盾所以f(2^z)
{2}同理f(2^z)>z不成立
又∵2^z>0，有定义域
所以f(2^z)=z
令x=2^z>0,f(x)=z=以二为底2^z的对数=以二为底x的对数
证毕。（若没有单调性要先证单调性）
表达形式
f(m+x)=f(n-x) 对称轴为(m+n)/2
关于对称
周期为
解法举例
特殊值法
特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。
例 2 定义在上的函数满足，
当时，，则函数在上 ( )
A　有最小值　 B　有最大值　 C　有最小值　 D　有最大值
分析 许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数，可抽象为，与此类似的还有
此题作为选择题可采用特殊值函数
当时
，可得在上单调递减，从而在上有最小值.
赋值法
根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。
例 2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法
解 令，则由
得,
再令得得, 代入①式得.
得是一个奇函数，图像关于原点对称。
∵当x <0时，f (x) >0，
即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
图象性质解法
抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的图象性质直接来解题，有以下结论：
结论若函数满足，则函数的图象关于对称 .
结论若函数满足，则函数是一个周期函数，周期为.
例 3 是定义在上的偶函数，且，证明是周期函数.
分析 由 ，得 的图象关于对称，又是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。
由图可直观得, 要证其为周期函数 , 只需证.
证明
是一个周期函数.
例 4 已知定义在上的偶函数在区间上单调递减 ，
若,求实数的取值范围 .
分析 根据函数的定义域，，但是1- m和m分别在和的哪个区间内是未知的。如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数有性质，就可避免复杂的讨论。
微分方程解法
如图所示。
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