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拉普拉斯定理

计算降阶行列式的方法

拉普拉斯定理（Laplace theorem），亦称行列式按k行展开定理，是计算降阶行列式的一种方法。该定理断言：在n阶行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。

定理定义
在阶行列式中，任意取定行（列），，由这行（列）的元素所构成的一切阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式的值。
验证推导
设中取定行后得到的子式为，它们的代数余子式分别为，
定理要求证明。
按行列式的定义完全展开，有项，而乘开有项，又和无公共项，
所以式右边有项，
即展开后的项数与的项数相同。
下面只要证明的任意一项也是的一项，定理即得证。
任取中的一项，
其中
为取子式的行的个行号，且；
为其余的个行号，且。
由定理有：
于是可以写成，其中
恰好是取第行第列所构成的级子式中的一项，
恰好是的余子式中的一项，从而就是中的一项，定理得证。
定理推广
拉普拉斯定理的特殊情况是行列式展开定理。
定理内容
阶行列式等于行列式的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式之积的和。
推导过程
只需对，即行列式的第一行进行证明，也就是证明。
根据行列式的定义，
其中的一般项
所以。
其他各行各列同理可证。
发展简史
1772年，范德孟制定了用二阶子式展开行列式的规则——范德孟规则。
1773年，拉普拉斯证明了范德孟规则，并将范德孟规则推广为拉普拉斯定理。
1812年，法国数学家柯西首次证明拉普拉斯定理。
定理意义
拉普拉斯定理在计算某些特殊类型的行列式时发挥着重要作用，为计算零元素个数较多的行列式、证明分块矩阵的乘法定理、证明行列式的相乘规则提供了理论基础。
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