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拉普拉斯算子

二阶微分算子

拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。

定义
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
f的拉普拉斯算子也是笛卡尔坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥2时成立。算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，对于任何开集Ω时成立。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹 ：
另外，满足▽·▽f=0 的函数f, 称为调和函数。
拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。拉普拉斯算子是个微分算子，拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，求解拉普拉斯方程是物理学和力学等领域经常遇到的一类重要数学问题。
表示式
二维空间
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡尔坐标：
另外极坐标的表示法为：
三维空间
笛卡尔坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
N 维空间
在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中是N− 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
椭圆型偏微分方程
[elliptic partial differential equation]
椭圆型偏微分方程是偏微分方程的一个类型，简称椭圆型方程。这类方程主要用来描述物理中的平衡稳定状态，如定常状态的电磁场、引力场和反应扩散现象等。
椭圆型方程是由方程中主部的系数来界定的。对两个自变量的二阶线性或半线性方程
在不等式 成立的区域内，就称方程是椭圆型的。此时，可以通过自变量的非奇异变换将方程化为标准型
。
对于高阶线性方程，设 阶线性偏微分算子为
其中， 。该偏微分算子的主部是 若对 及任意非零向量 都有 ，则称方程 在点 是椭圆型的。如果在 中每一点都是椭圆型的，就称该方程在 中是线性椭圆型方程。
线型椭圆型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫调和方程）
其中， 这个算子叫拉普拉斯算子（Laplace operator），也叫调和算子。可以说，调和方程是最基本，同时也是最重要的线性椭圆型方程。
对于非线性方程，也可以定义椭圆型方程。例如，考虑二阶实系数拟线性方程
其中， 。如果对任意非零向量 ， 及 ，有
就称方程是 中的拟线性椭圆型方程。类似地，可以定义高阶拟线性椭圆型方程。
推广
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子。
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。
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