拉格朗日元法

数值方法

拉格朗日元法是一种分析非线性大变形问题的数值方法，这种方法依然遵循连续介质的假设，利用差分格式，按时步积分求解，随着构形的变化不断更新坐标，允许介质有大的变形。

概念

非线性问题可分为材料非线性问题和几何非线性问题：一般的有限元法可以用来解决材料非线性问题，但仍囿于小变形的假设，即勿略了因变形造成几何尺寸的改变所导致应力的微小变化，且略去应变的二次幂，对于几何大变形问题，虽然原则上可以将荷载分成若干级，在每一级荷载施加后算出结构的应力、应变和新的位置。以此为基础再计算出结构中各个单元的刚度矩阵，组成总刚度矩阵后再加下一级荷载依次求解。可见，其计算工作量是相当繁复的。

岩土介质是一种为众多节理裂缝等弱面所切割的地质体。岩土力学的问题往往牵涉到非线性大变形的问题。例如，地下巷道中的底问题，底赚使巷道的断面缩小，影响走车和通风，需要经常拉底，有时累计拉底的岩石体积可以充满整个巷道而有余。象这样的问题现在通用的有限元法和边界元法都无能为力，只能求助于拉格朗日元法。拉格朗日元法正是这样一种分析非线性大变形问题的数值方法，这种方法依然遵循连续介质的假设，利用差分格式，按时步积分求解，随着构形的变化不断更新坐标，允许介质有大的变形。

拉格朗日元法的名字渊源于流体力学中跟踪质团运动的一种方法，实际上是连续介质力学中对运动的物质描述方法，在非线性连续体力学中叫拖带坐标系或嵌含坐标系方法。

网格划分

拉格朗日元法用差分方法求解，因此首先要分成网格，物理网格（图1）影射在数学网格（图2）上，这样数学网格上的某个编号为，的结点就与物理网格上相应结点的坐标，相对应。也可以将数学网格想像为一张橡皮做的网，拉扯以后可以变为物理网格的形状。

分成的网格只要有序也可以具有不规则的形状，图3所示为在断层一侧的巷道周围网格划分的示例。网格基本上是四边形的，但在边界等不规则的地方也可以用三角形网格来拟合。

基本原理

先举一个一维杆的例子。假定杆为弹性，侧面不受限制，两端受拉，杆的密度为，弹性模量为，其本构关系为，杆的运动平衡方程为。

一维问题的网格划分如图4所示，结点顺序编号，结点之间区域（或可称网格、单元)的编号从其左侧的结点开始编号。我们约定，凡张量（例如应力）和纯量（例如密度)定义在网格中，凡矢量（例如速度)定义在结点上。

差分方程就其求解的数值方法而言可以分为两大类：一类是隐式方法，另一类是显式方法。隐式方法要解一个线性联立方程组，所有的未知数一次求解，隐式方法需要存储一个大的矩阵，对于非线性问题还要多次分段线性化后用增量法求解。显式法则不用解方程组，因为等式右边的值均为已知，可将右边的表达式求值后赋值给左边的未知数就可以了，这个过程也就是同时更新所有的变量。某一时步时的所有“老”的变量为其后一时步的“新”的变量所代替，而时间则又前进了一步。所以，显式法可以随着时间的推移跟踪运动的发展。显式法的缺点是时步的大小要选择恰当，过大了会使解不稳定，过小则迭代次数太多，需要的机时长。拉格朗日元法系采用显式解法。

时步选择的原则是要使计算的速度大于纵波传播的速度，也就是从物理上讲，在一个时步之内，“信息”不能由一个单元传到另一个单元。

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