拉格朗日点

平面圆型限制性三体问题的5个特解

又称平动点，在天体力学中是限制性三体问题的五个特解。一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。这些点的存在由瑞士数学家欧拉于1767年推算出前三个，法国数学家拉格朗日于1772年推导证明剩下两个。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见特洛依群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形。

发现

1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见特洛依群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角。

18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。A.D 1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。人们进一步发现，在自然界各种运动系统中，都有拉格朗日（拉格朗治）点。

现象

L1、L2和L3在两个天体的连线上，为不稳定点。若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点；但若测试质点漂向任一星体，则该星体之引力会将其拉向自己。不过，虽然它们是不稳定的，但可选取适当的初始扰动，使相应平动点附近的运动仍为周期运动或拟周期运动。即选取这样的初始扰动使系统原来的解退化为周期解，相应的运动变为稳定的，此时这种稳定称为条件稳定。

对于L4、L5，当0<μ<μ*时（其中μ*满足μ*(1-μ*)=1/27），L4、L5是线性稳定的。对于太阳系中处理成限制性三体问题的各个系统，如日-木-小行星，日-地-月球，……，相应的μ均满足条件0<μ<μ*（μ*满足μ*(1-μ*)=1/27）。对于μ*<μ<1/2的情况，显然是不稳定的。

五个特解

五个点的计算公式：

在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。例如：一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略了地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加了这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探测仪（SOHO）（NASA关于SOHO工程的网站）即围绕日-地系统的L1点运行。

在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。

例如：相似的影响发生在地球的另一侧。一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长。地球引力对其的拉力减小了物体的轨道周期。在L2点，轨道周期变得与地球的相等。

日地拉格朗日L2点：其中L2点位于日地连线上、地球外侧约150万公里处，在L2点卫星消耗很少的燃料即可长期驻留，是探测器、天体望远镜定位和观测太阳系的理想位置，在工程和科学上具有重要的实际应用和科学探索价值，是国际深空探测的热点。

L2通常用于放置空间天文台。因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。

威尔金森微波各向异性探测器已经围绕日-地系统的L2点运行。詹姆斯·韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上。另外世界首颗运行于地月拉格朗日L2点的通信卫星，中国探月工程项目嫦娥四号任务中继星鹊桥号也将会运行在该轨道上。

另：嫦娥二号卫星于2011年6月9日16时50分05秒在探月任务结束后飞离月球轨道，飞向第2拉格朗日点继续进行探测，飞行距离150万公里，预计需85天。北京时间2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里远的、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道。

2014年11月23日服务舱实施月球借力轨道机动控制，飞向地月L2点。此后，11月27日进入环绕地月L2点的李萨如轨道，这是中国飞行器首次飞抵地月L2点（而不是地日拉格朗日点）；11月28日、12月11日、12月26日分别实施了三次轨道维持控制。

在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。

例如：第三个拉格朗日点，L3，位于太阳的另一侧，比地球距太阳略微远一些。地球与太阳的合拉力再次使物体的运行轨道周期与地球相等。

一些科幻小说和漫画经常会在L3点描述出一个“反地球” 。

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。因此，两个引力的合力正好指向该系统的质心，合力大小正好提供该物体公转所需之向心力，使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中，两大物体和L4点上物体围绕质心旋转，旋转中心与质心重合。事实上，L4与L5点上的物体的质量必须小到可忽略。

L4和L5点有时被称为三角拉格朗日点或特洛伊点。

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的后方。

L4和L5有时称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”。

土卫三的L4和L5点有两个小卫星，土卫十三和土卫十四。土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。

平衡性

严格而言，首先拉格朗日点只算是二星体连线之法平面内的稳定点，而在三维空间内则不稳定：考虑L1：若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点（稳定平衡）；但若测试质点漂向任一星体，则该星体之引力会将其拉向自己（不稳定平衡）。（参见平衡）L1、L2、L3在这条直线上不稳定，如果把物体放在这上面的话，它马上会离开这个点。所以，有一种轨道的设计就是，它是围绕L2做周期运动（Halo orbit），这样的话，我们的卫星只需少量调节便能维持其轨道。

此对比：若M1比M2大于24.96，则处于L4与L5的物体是稳定平衡：当一测试质点偏离此平衡点，则科里奥利力会将其轨道扭曲成（相对于旋转座标之）扁豆状。太阳－木星系统有几千枚小行星，通称为“特洛伊小行星”，俱划此等轨迹。太阳－火星、太阳－土星、木星－木卫、土星－土卫等系统亦有类似星体。日－地系统中亦有2010 TK7（第一颗地球特洛伊小行星），在二十世纪五十年代发现尘雾围绕L4与L5。在地－月系统之L4与L5点亦发现比对日照更微弱之尘雾。

地球的伴星（companion object）克鲁特尼以类似特洛伊之轨道“围绕”地球，但不是真正的特洛伊卫星，它基本上以一周期略小于一年之椭圆轨道环绕太阳，接近地球时从地球公转提取动能而进入较高之轨道。当克鲁特尼被地球追上，则会交回此动能，跌落低能轨道，重新开始循环。

土卫十一（Epimetheus）与土卫十（Janus）有类似关系，唯因其质量相若，故周期性地互换轨道。

另一类似位形为轨道共振，其中各星体之周期，因其相互作用，成简单整数比。

土卫三（Tethys）的L4和L5点有两个小卫星，土卫十三（Telesto）和土卫十四（Calypso）。土卫四（Dione）的L4点有一个卫星土卫十二（Helene）。

用途

在天体力学中，拉格朗日点是限制性三体问题的5个特解。例如，两个天体环绕运行，在空间中有5个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），并使其保持在两个天体的相应位置上。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力提供在拉格朗日点需要的向心力，使得第三个物体与前两个物体相对静止。

理性在太空闪光

按照计划，美国国家航空航天局要对哈勃空间望远镜（HST）进行第5次维修。维修之后，人们估计它至少能够再工作5年。HST一时还不“退休”，“继任者”詹姆斯·韦伯空间望远镜（JWST）只好在地面上再静候几年了。

有趣的是，詹姆斯·韦伯空间望远镜将不像HST那样绕着地球公转，它的“工作地点”被定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”（在地球背向太阳一面的150万千米处）。拉格朗日（1736—1813）怎么也想不到，他的“三体问题”研究成果，在发表200多年之后，屡次在人类的科学研究与航天工程中被引用。

在双星系统、行星和太阳、卫星和行星 (或任何因重力牵引而相互绕行的两个天体) 的轨道面上，所特有的一些稳定点。例如，超前和落后木星轨道60度的地方，各有一个拉格朗日点，如果有小行星在这两个拉格朗日点上，它会在此点附近振荡，但不会离开这些点，而特洛伊小行星 (Trojan asteroids) 就是位在这两个区域。事实上，任何「双星系统」都有五个拉格朗日点。除了上面的两个点之外，另三个的拉格朗日点不很稳定，位在其他拉格朗日点上的小天体，稍受扰动就会离开它位置。

“三体问题”研究成果被后人使用，JWST不是第一例。更早受到世界瞩目的是2001年升空的威尔金森宇宙微波各向异性探测卫星（WMAP），WMAP是继宇宙微波背景探索者卫星COBE之后的第二代宇宙微波背景探测卫星。人们感到好奇的，也是WMAP的定位：处于太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”。

让我们说一说，什么是“三体问题”？简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”，或者“太阳-木星—小质量物体”这样的“三个天体”的系统如何运行。说得详细一点，就是研究这样的问题：“太阳-地球”或者“太阳-木星”这些天体系统，如果有无限小质量的物体加入进来，那么在万有引力作用下，这些小物体会怎样运动？

“三体问题中”最简单的一种类型，是“平面圆形限制三体问题”。拉格朗日求解这个问题，得到了5个特解：3个直线解和两个等边三角形解，只有两个等边三角形解是稳定解。如果小质量物体处在某一个拉格朗日点上，那么它所受到的太阳-木星（或太阳-地球）的引力，恰好等于它与太阳-木星（或太阳-地球）一起转动时所需要的向心力。这就是说，处在某一个拉格朗日点上，小质量物体就可与太阳-木星（或太阳-地球）的相对位置保持不变。

有趣的是，“第一代卫星”HST和COBE都是绕着地球“公转”，“第二代卫星”JWST和WMAP都把位置定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”。欧洲空间局的两颗卫星“赫歇尔”、“GAIA”也看好那个“地点”，计划到那里落户。

在科学发展的历史上，跟“三体问题”有关的好玩故事还有不少。大约一百年前，1906年，德国天文学家马克思·沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星贴近。这颗小行星被命名为“阿基里斯”，他是荷马史诗《伊里亚特》叙述的特洛伊战争中的希腊英雄。

天文学家沙利叶敏感地意识到，小行星“阿基里斯”很可能是法国数学家拉格朗日“三体问题”的一个特例：只要小物体、大行星与太阳这三者形成一个等边三角形，这小物体和大行星就会永远同步地绕太阳旋转，它们永远不会相撞。

果然，天文学家很快就在木星之后60°的位置上，也发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个拉格朗日点上，已找到700颗小行星。科学理论的预见何其美妙！后来发现的这些处在拉格朗日点上的小行星，都以特洛伊战争里的英雄命名。于是，这几百颗小行星，就有了一个“集体的”称号：特罗央群小行星。这个“特罗央”，实际上就是古希腊神话中小亚细亚的“特洛伊”城。

不久前，法国空间研究中心的天文学家提出一个新设想，使得拉格朗日点将来可能获得新的用途：用作拦截危险小行星的布防点。法国科学家提出，捕获一些中等体积的“天体”，把它们“部署”到“太阳—地球”体系的五个拉格朗日点中的一个。发现对地球有危险的小行星以后，人们可以调用这些“天体”去拦截危险小行星。

美妙的理论、美丽的图像、美好的应用，拉格朗日带给我们的兴趣是全方位的：理趣、情趣、志趣。这是我们对科学的全面的美感。

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