拓扑等价

数理科学术语

拓扑等价(topological equivalence)有多个解释，一个是刻画微分方程的解之间的关系的重要概念；另一个是指对连续流进行分类的一种方法；还有一个是说几个图形，如果其中任一个可以通过拓扑变换从其余图形得到，就称它们为拓扑等价的，或称几个图形，其中每一个可以从其余任一个图形经扭转、弯曲、拉长或收缩得到，而不出现任何点的重叠与断开，它们就是拓扑等价的。例如，一个篮球拓扑等价于一个足球。

定义

定义1

拓扑等价是刻画微分方程的解之间的关系的重要概念。如果对微分方程系

存在向量函数满足下列条件，则称为拓扑等价：

1. 当时,一致地成立，且一致地成立；

2. 对于定义为是同胚映射；

3. 定义为也具性质1；

4. 若是的解，则是的解；若是(2)的解，则是(1)的解。

设和在R上连续，如果有常数，只要，使线性系统

与线性系统

拓扑等价，那么，称具有结构稳定性。有界线性系统具有结构稳定性的充分必要条件是它自己具有指数型二分性。

定义2

拓扑等价是指对连续流进行分类的一种方法，设φ，ψ分别是拓扑空间M，N上的连续流，若存在同胚，使得对任意，h把φ过的轨道保向地映射到ψ过的轨道上，就称φ和ψ是拓扑等价的。拓扑等价这一关系是一个等价关系，拓扑等价从拓扑的观点刻画出两个连续流的轨道结构是相同的，因此，连续流的结构稳定性是用拓扑等价来揭示的。

定义3

一个立体球拓扑等价于一个立方体或任何正则立体，三维欧几里得空间中的两个图形称做拓扑等价的，当且仅当存在一弹性运动，使得其中一图形与另一图形重合。当然如果我们给出两个物理客体，其中一个是固体橡胶球，另一个是固体的木制立方体，我们不能使橡胶球与木立方体重合，如果我们想使它们重合，它们就得互相撞击，使得橡胶球平贴在立方体的外表面上而不通过立方体的内部。这一例子可以用来强调数学所研究的图形——无论是在欧几里得几何中还是在拓扑学中——不是物理客体，而是抽象图形。一个三角形不是可以用木头、纸张或绳子做成的东西，它是由以某种方法安放在一起的“线段”构成的，而线段又是“点”的某种组合，这样，对几何或拓扑进行任何认真的研究，就需要一个适当的基础知识，即对点集合进行一些讨论，并清楚地理解怎样使一个点集与另一个点集重合，我们仍然依靠对图形的拓扑等价的直觉，它是建立在理想弹性图形的弹性运动上的。（后文围绕这一定义展开）。

标准图形举例

下面将讨论我们感兴趣的几个标准图形。

一个圆是一平面曲线，它上面的每一点与平面上一定点的距离为某一定长，这一定点就是圆心，定长即圆的半径，一单纯封闭曲线乃是与圆拓扑等价的曲线，一个单纯封闭曲线可以在一个平面上也可以不在一个平面上，图1给出不在一平面上的打结的单纯封闭曲线的例子。

一个开圆盘乃是平面上被某一圆所围住的那部分，但不包括圆本身，一个闭圆盘乃是平面上的某一圆的内部或圆上的那部分，即圆曲线上的每一点都在闭圆盘上，注意，无论开的或闭的圆盘都是平面上的一个表面，一个闭的圆盘是一个开的圆盘加上其内部为该开圆盘的那个圆。

一个球面是一个三维的表面，它上面所有的点与某一定点的距离为某一定长，这个定点即此球面的球心，这个定长即此球面的半径。

一个开圆球是三维空间中被某一球面所围住的那部分，但不包括球面本身，一个闭圆球是三维空间中某一球面的内部或球面上的那部分(即球面上所有的点都在闭圆球上)，注意，无论开圆球还是闭圆球都是三维空间里的一个立体，一个闭圆球是一个开圆球加上其内部为该开圆球的那个球面。

一个带p个柄的球面乃是三维空间里这样的一个表面：在一球面上凿2p个洞，弯曲P个不同的管子，将它们的两端分别插在这些洞里而得到的一个表面，图2表示一个带三个柄的球面。

一个“胎形”(图3)乃是三维空间里这样的一个表面：将一个圆绕圆所在平面且不与此圆相交的直线旋转而得到的一个表面，可以把胎形想成一个车轮的内胎或一个油炸圈饼的表面。

拓扑等价关系的证明

如果两个图形是拓扑等价的，我们可以用一弹性运动将一图形变成另一图形来证明之。例如，设有一圆形橡胶带，我们可将它切断，弯曲成图1中曲线的形状，然后再把两端接成它们原来的样子，这可以证明图1中的曲线确实是一个单纯封闭曲线，因为它拓扑等价于一个圆。

那么怎样证明两个图形不是拓扑等价的呢？这就需要证明不存在任何弹性运动，可将一个图形变成与另一图形重合。当然，我们不可能一一试用每种弹性运动——不同的弹性运动太多了，给出这类证明的一个方法是，找出其中一个图形的一种性质，而这性质不为另一图形所具备，如果这一性质是拓扑性质，那么这两个图形就不可能是拓扑等价的，因为任何弹性运动都不能产生或消除这一性质，所以没有一种弹性运动可使其中的一个图形与另一图形重合。我们证明一个球面不拓扑等价于一个胎形，以此为例说明这类证明过程，事实上，如果球面上面有一任意单纯封闭曲线，并沿此曲线切割球面，则这个表面就分裂成两部分，故球面上任意单纯封闭曲线都使得这个球面不再是连通的，而胎形不具有这一性质。如果有一个圆穿过胎形的一个洞并围绕着胎的横切面，用这样的圆曲线切割此胎形，这个表面就变成一根管子，但它仍然是一个整体，所以胎形不能被这样的曲线切割成不连通的，故胎形不具有球面所具有的上述性质，而且，一个表面可以被它上面的任意单纯封闭曲线切割成不连通的这一性质显然是拓扑性质，于是，一个球面与一个胎形不拓扑等价。

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