拟凸函数

凸集上的一类函数

拟凸函数是凸集上的一类函数，设S是线性空间中的非空凸集，f是S上的实值函数，若对任何实数α∈(0，1)和S中的任意两点x1和x2，恒有 f(αx1+(1-α)x2)≤max{f(x1),f(x2)}，则称f是S上的拟凸函数，或f在S上是拟凸的，S上的凸函数也是S上的拟凸函数，对于任何α∈(0，1)和任意的x1，x2∈S，若f(x2)≥f(x1)，而f(x2)不小于在x1与x2连线上一切点的函数值，则f是拟凸的。

基本概念

定义

函数称为拟凸函数(或者单峰函数)，如果其定义域及所有下水平集

,都是凸集。函数是拟凹函数，如果是拟凸函数，即每个上水平集是凸集。若某函数既是拟凸函数又是拟凹函数，其为拟线性函数。函数是拟线性函数，如果其定义域和所有的水平集都是凸集。

定义1 设定义域是凸集，若对于任意的，都有

则称在Z上是拟凸的。

定义2 设其定义域，若对于任意，都有

则称在Z上是严格拟凸的。

若一是拟凸(严格拟凸)，则称是拟凹(严格拟凹)的。

定义3 设其定义域，若对于任意的，都有则称在Z上是强拟凸的。

若一是强拟凸的，则称是强拟凹的。

对于定义在R上的函数，拟凸性要求每个下水平集是一个区间(有可能包括无限区间)。R上的一个拟凸函数如图1所示。

图1中R上的一个拟凸函数。对于任意，下水平集是凸集，即某区间。下水平集是区间[a，b]。下水平集是区间。

凸函数具有凸的下水平集，所以也是拟凸函数。但是拟凸函数不一定是凸函数。图1所示的简单例子即说明了这一点。

举例说明

例1 R上的一些例子：

对数函数：定义在上的函数是拟凸函数(也是拟凹函数，因此是拟线性函数)。上取整函数:函数是拟凸函数(亦为拟凹函数)。

从上述例子可以看出，拟凸函数可能是凹函数，甚至有可能是不连续的。下面给出上的一些例子。

例2向量的长度。定义的长度为非零分量的下标的最大值，即

(定义零向量的长度为零。)由于此函数的下水平集是子空间

所以它在上是拟凸函数。

基本性质

在拟凸条件下，凸函数的很多性质仍然成立，或者可以找到类似性质。例如，存在一种变化的Jensen不等式来描述拟凸函数：函数f是拟凸函数的充要条件是，是凸集，且对于任意及，有

即线段中任意一点的函数值不超过其端点函数值中最大的那个。上述不等式有时称为拟凸函数的Jensen不等式，图2所示即为一个拟凸函数的例子。

和凸性类似，拟凸性可以由函数在直线上的性质刻画：函数是拟凸的充要条件是它在和其定义域相交的任意直线上是拟凸函数。特别地，可以通过将一个函数限制在任意直线上，通过考察所得到的函数在R上的拟凸性来验证原函数的拟凸性。

R上的拟凸函数

对R上的拟凸函数，我们给出一个简单的刻画。由于考虑一般的函数较为繁琐，所以我们考虑连续函数。连续函数是拟凸的，当且仅当下述条件至少有一个成立。

1.函数是非减的；

2.函数是非增的；

3.存在一点，使得对于 (且 )，f非增，对于t≥c(且 )，f非减，点c可以在的全局最小点中任选一个。图3描述了这样的情形。