指数函数

数学函数

指数函数是重要的基本初等函数之一，其定义来源于正整数指数的运算。指数函数作为一元实函数时，其表现出的特点与底数有关；作为一元复函数时，指数函数是一个单值的在复平面处处解析的周期函数。

指数运算

正指数运算

当为正整数时，个数的积可记作，又称的次方。其表达式为

整数指数

当且时，。

分数指数

当为最简分数形式，为正整数且时，。

其中表示的次方根，其为关于的方程的唯一正实数解。

实数指数

当且时，考虑集合满足

故对于任意满足的有理数，可知是的上界。根据确界原理，可知集合存在上确界，由此定义

当且时，。

至此，可以得到定义在实数上的一元实值函数。

函数图像和性质

指数运算的性质

正整数指数的上述性质可以很容易验证。可以认为，有理数指数的定义是为了保持正整数指数的上述性质而给出的，实数指数的定义是为了使得指数函数连续而给出的。

指数函数的图像

当时，函数的图象大致如图。

当两正数满足时，函数和的图象关于y轴对称。

指数函数的性质

指数函数的定义域为，值域为。

指数函数在处的取值等于，与的具体取值无关。即。

当时，指数函数在单调递增。且当时，；当时，。

当时，指数函数在单调递减。且当时，；当时，。

指数函数具有反函数。指数函数的反函数是对数函数。

指数函数的函数值增长或减小是非常快的，该特点又被称为“指数爆炸”。

指数函数具有幂级数展开

指数函数的导函数与不定积分均为自身，即

应用举例

例1 已知指数函数是单调递减的，求的取值范围。

解由指数函数的性质可知

解得

即的取值范围是。

例2 ，，比较和的大小关系。

解由指数函数的性质可知。故而可知和的大小关系为。

例3 实时荧光定量PCR技术是一种在DNA扩增反应中，以荧光化学物质测每次聚合酶链式反应（PCR）循环后产物总量的方法，能够在PCR反应过程中实时监测DNA的扩增情况，从而实现对靶DNA的定量分析。在实时荧光定量PCR中，荧光强度和循环后产物的浓度成正比，循环次后产物浓度与靶DNA的初始浓度之比为。具体地：

其中是定值。

（1）反应循环10次后，荧光强度会变为原来的多少倍？

（2）Ct值，即循环阈值的含义为：每个反应管内的荧光信号到达设定阈值时所经历的循环数。已知反应管A中的Ct值比反应管B中的Ct值小3，求管A和管B中靶DNA的初始浓度比的取值范围。

解（1），即荧光强度会变为原来的1024倍。

（2）假设荧光信号的设定阈值为，管A和管B中靶DNA的初始浓度分别为，，则可由信息得

故而：

此即管A和管B中靶DNA的初始浓度比的范围。

例4 指数函数可以用于描述计算复杂度。计算复杂度指的是算法运行过程中消耗时间或空间随问题规模变大而增长的速度。由于指数函数具有“指数爆炸”的特点，如果一个算法的复杂度是指数级别的，那么该算法的开销一般被认为是不理想的。

1994年，P.W.Shor提出的大数因子分解的量子算法，首次把大数因子分解的指数复杂度降低到多项式量级。降低指数复杂度算法的复杂度是一个重要而深刻的问题。

复指数函数

指数函数的自变量可以拓展至复数域。

设复函数，其中复数（）。考虑指数函数的性质，结合欧拉公式有：