指数映射

微分几何学术语

指数映射(exponential mapping)是由李群的李代数到李群的一种解析映射。若G为李群,e为单位元素,Te(G)为G中点e的切空间,任取Xe∈Te(G),则唯一存在左不变向量场X,使得Xg=dLg(Xe),∀g∈G.

定义

黎曼流形定义

设M为黎曼流形，p∈M，

Vp:={v∈TpM:cv定义于[0,1]}

定义expp:Vp→M，v↦cv(1)。exp称为M于p点的指数映射。

李群定义

给定李群G的李代数𝖌，X∈𝖌。则为ℝ的李代数到𝖌的同态，则存在唯一的单参数子群expX:ℝ→G，满足。

定义光滑映射exp:𝖌→G，X↦expX(1)。exp称为指数映射。

性质

指数映射在原点处的切向量为X(e)。

单参数子群可定义为expX:t↦exp(tX)。

自然性：f∘exp=exp∘Lf。

exp(tX)=expX(t)

exp(t1+t2)X=(exp(t1X))(exp(t2X))

exp(-tX)=(exp(tX))-1

等价定义

定义1

由李群的李代数到李群的一种解析映射。若G为李群，e为单位元，Te(G)为G中点e的切空间，任取Xe∈Te(G),则惟一存在左不变向量场X,使得Xg=dLg(Xe),∀g∈G.任给左不变向量场X,构作算子

任意取定单位坐标邻域U,点x=(x1,x2,…,xn),记

当|t|<ε,(σ1,σ2,…,σn)为U中点.于是,在U中有一条单参数解析曲线

记exp(tX)=σ(t),|t|<ε.它可开拓到t∈(-∞,∞),使得

且exp(tX),t∈(-∞,∞)为G之一维连通李子群.反之,任意一维连通李子群惟一决定左不变向量场X,使得此李子群为exp(tX).于是,有映射exp:J→G,称为指数映射,这里J为李群G的李代数.指数映射是建立李群和它的李代数间的关系的重要工具,在李群理论中占有重要的地位.

且exp(tX),∀t∈(-∞,∞)为G之一维连通李子群.反之，任意一维连通李子群惟一决定左不变向量场X，使得此李子群为exp (tX ).于是，有映射exp:J→G，称为指数映射，这里J为李群G的李代数.指数映射是建立李群和它的李代数间的关系的重要工具，在李群理论中占有重要的地位.

定义2

切平面到曲面的一种映射.设TP是曲面S在P点的切平面,指数映射是从切平面TP到曲面S上的一个对应关系,记成exp:TP→S,定义如下:设v是曲面S在P点的一个切向量，过P作S上切于v的测地线,在此测地线上取一点M使得从P到M的弧长正好等于v的长度|v|,则定义expv=M。

引理1 对于曲面M上的每点p0，存在包含p0的一个坐标邻域U及常数ε>0，使得对于每点p∈U和p点切空间TP(M)中每个长度小于ε的切向量v，都有唯一的一条满足初始条件

的测地线::(-2,2)→M

设q∈M，v∈(M)，若存在测地线

满足初始条件

那么点γ(1)∈M叫做在q点切向量v的指数映像，用(v)表示γ(1)，而映射

称为在q点的指数映射．于是，满足初始条件的唯一测地线可表达为

根据引理1 当||v|| 充分小时，(v)是确定的．一般地说，对于长度较长的向量v，指数映像(v)未必能确定．然而如果能确定，则总是唯一的．

定义若对于任何点q∈M和任何向量v∈(M)，指数映像(v)总是确定的，则曲面M称为测地完备的．

显然，测地完备性等价于下述要求：对于每段测地线段→M，总能够把延拓成无限长的测地线：

γ:R→M

因此，我们也可把后者作为测地完备性的定义．

与李代数

研究李代数元素的另一种方法是把它看作群上的左不变向量场．迄今为止，我们只是讨论单位元处的向量，对于向量场，需要涉及所有群元素的切线．将一个群元素在左侧相乘。就定义了群流形的一个同构g：G→G，其中g(g1)：gg1，群在它的基础流形上的这个作用诱导出在该流形向量场上的作用．左不变向量场关于这个作用是固定不变的．将任何左不变向量场限制到单位元上的切向量。即一个李代数元素．而给出一个单位元上的切向量。就能产生一个左不变向量场．我们需要做的就是左平移原始向量到流形上的每个点．如果X是一个矩阵。描述单位元处的切向量。则在群的点g处的切向量定义为gX。因此,单位元的切向量和左不变向量场之间是一一对应的。

这些左不变向量场的积分曲线在后面起重要的作用．向量场的积分曲线是在每一点都与该场相切的曲线．对于左不变向量场。这个曲线满足如下微分方程：．

这个方程有解析解,通过单位元素的解是

矩阵X的指数可以展开成幂级数：

对于矩阵指数有如下关系：

当且仅当[X,Y]=0．

这表示只有当指数是可交换时,指数积运算时指数才可以相加．当然,元素t1X和t2X是可交换的,这表示形如的群元素构成子群：

它们是群的一维或单参数子群．用这种方法。每个李代数元素都产生一个单参数子群．

指数函数也可以被看作给出了从李代数到群的映射。这个映射通常既不是单射也不是满射,但是在单位元附近它是同胚映射。即在李代数上存在0的邻域同胚映射到群的单位元的邻域．在这个邻域存在一个逆映射。通常被称作对数,由众所周知的Mercator级数定义。即

当g远离单位元时,级数不收敛。

矩阵指数的行列式是矩阵迹的指数：

矩阵的迹Tr()是它的对角线元素之和．如果矩阵X的特征值都不相同。那么这个关系能够通过对角化矩阵简单地证明．即使在一般情况下,这个关系也是正确的．由这个关系可以得到：矩阵指数的行列式为1当且仅当矩阵是迹为0的．这就是李代数so(n),su(n)和sl(n)由迹为0的矩阵构成的原因．

对于某些李代数,我们能够更详细地确定它的指数映射．例如。考虑su(2),典型的李代数元素m用伴随表示可以描述成如下形式的矩阵：