指数爆炸

数学术语

指数爆炸（blow up），是一个数学术语，即指数函数的“爆炸性”增长。

概念

指数的概念：在乘方a中，其中的a叫做底数，n叫做指数，结果叫幂。

f(x)=a^x (a为常数，如图1中a=2 x为指数) 随着x单位长度的递增，f(x)会呈“爆炸性”增长

x1=0 f(x1)=1

x2=1 f(x2)=2

x3=2 f(x3)=4

x4=3 f(x4)=8

x5=4 f(x5)=16

x6=5 f(x6)=32

x7=6 f(x7)=64

·· ····

x21=20 f(x21)=1048576

事例

最多对折次数

一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。

再对折第二次，变为原来的2的2次方倍即4倍。

以此类推，假设纸的厚度为0.1mm，则对折24次以后，长度超过1千米；对折39次达55000千米，超过地球赤道长度；对折42次达44万千米，超过地球至月球的距离；对折51次达22亿千米，超过地球至太阳的距离；对折82次为51113光年，超过银河系半径的长度。不过，只是一个不符合实际的数学理论推理数字。

那么在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？

如果纸为正方形，边长为a，厚度为h，当折叠一次的时候，折叠边长不变，厚度为2倍的h，折叠两次的时候，折叠边长为原边长的二分之一，厚度变为4倍的h，就这样折叠下去，可以推出一个公式：当折叠次数n为偶数次时，折叠边长为l/(2^(0.5*n))，厚度变为2^n*h，当满足n＞2/3*(log2(l/h)-1)时无法折叠。根据一般的纸张的状况，厚度大约为0.1mm，边长为1m时，根据以上公式，可以得出n＞8.1918时无法折叠，这意味着对于厚度大约为0.1mm，边长为1m的正方形纸，只能折叠8次。但8次人类是很难办到的，只能依靠机器。

所以，一张纸最多能对折多少次实际是一个变数，它取决于纸张的实际厚度与大小。

在现实生活中，一张普通的A4纸，一般人可以折到6次，厉害的人可以折到7次。

百万富翁破产

杰米是百万富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说：“真的？！你说话算数？”

合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出1分钱，收入10万元。第二天，杰米支出2分钱，收入10万元。到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出5元1角2分。到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得5千元多。杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变。

第21天杰米支出1万多，收入10万。到第28天，杰米支出134万多，收入10万。结果，杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了。

国王放米

在古印度有个叫锡塔的大臣，他聪明过人，发明了一种棋子，国王百玩不厌，于是决定重赏锡塔。锡塔说：“陛下，我只要一点麦子。请您让人将麦子放在我发明的棋盘的六十四个格子内，第一格放一粒，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒，第五格放十六粒……照这样放下去，每格比前一格多放一倍麦粒，直到把六十四个棋格放满就行了。”

国王听了哈哈大笑，他觉得锡塔这个人真是有趣，放着金银财宝不要，反而提出这样一个“笨”要求，谷仓里的麦子多着呢，填完六十四个棋格实在是小意思。于是便传令粮食大臣：“答应锡塔的要求，现在就从粮库把麦子拉过来。”在场的每一个人都认为一小袋麦子就能填满棋盘上的十几个方格，一些人甚至忍不住笑了起来。

麦子被拉来后，粮食大臣一粒一粒地填了起来。一粒、两粒、四粒、八粒……一开始，前面的几个方格很快就被填满，而此时还没有用完一小碗麦子。但是慢慢地，所用的麦子开始明显多了起来，三十二粒、六十四粒、一百二十八粒、二百五十六粒、五百一十二粒、一千零二十四粒……

可不知从哪一刻起，喧闹的人们突然安静下来。因为往第16个方格上放米粒时，就需要拿出1公斤的大米，而到了第20格时，则需要满满一手推车的米。如此看来，国王根本无法提供足够的大米放在棋盘上的第64格上去。大臣们和国王都惊诧得张大了嘴：即使倾全国所有，也填不满下一个格子啊。

原理：

假设把第一个格子的一粒米写成2的0次方，第二个格子写成2的1次方，第三个格子写成2的2次方，那么第N个格子就可以写成2的N-1次方。国际象棋一共64个格子，到了第64个格子的时候，需要放的米粒数就是2的63次方，即9，223，372，036，854，780，000粒，这还只是这一个格子的容量，如果全部累计，则为18，446，744，073，709，600，000粒。如果1000粒米有一克重，那么折算一下，第64格就需要放9，223，372，036吨米。

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