振荡积分

用某种积表示的线性形式

振荡积分(oscillatory integral)是用某种积表示的线性形式。它依赖于位相函数与振幅函数。

详细介绍

振荡积分是用某种积分表示的线性形式。它依赖于位相函数与振幅函数。考虑积分：

其中u∈C∞0ρ，δ(X×R)(0≤ρ，δ≤1)。为确定起见，设ρ>0，δ<1。

这个积分收敛与否，很大程度上取决于m所取的值。例如m<-N时，此积分收敛。但对大于-N的任意实数，它却是一个发散的积分。尽管如此，可以用以下方法赋予此积分新的合适的意义。其主要思想是像通常处理发散积分那样，在广义函数意义下研究这个积分。针对上述具体形式，可做如下处理.固定φ和u，可得线性形式：

l： a∈S∞ρ，δ(X×R^N)→l(a)=Iφ(au)∈C.

根据振幅函数空间的拓扑结构特性及φ是位相函数，此线性形式可以惟一地拓广成：

S+∞ρ，δ(X×R^N)　(S+∞ρ，δ=Smρ，δ)

上的线性形式；而且，它在任意空间Smρ，δ(X×R^N)上均为连续的。记此拓广后的线性形式l(a)为如下积分形式：

显然，上述积分形式仅是一个符号。但它可用下面两种方法具体地用一个真实的收敛积分或其极限来表出，即：

或：

其中：

aj∈S01，0，bj，c∈S-11，0是使的某些函数。k满足m-kt<-N，t=min(ρ，1-δ)，ψ(θ)∈C∞0(R^N)且在θ=0附近为1。称上述拓广后的线性形式：

为一个振荡积分。在现代微分算子理论中，人们总是将原来的积分(不管发散与否)Iφ(au)理解为在上述振荡积分的意义之下。

应当指出，若一个振荡积分中含有参数，则对于这个含参变量的振荡积分有像含参变量的通常积分一样的运算法则(例如在积分号下求极限、求导及求积等).这些性质将在应用上带来很大的方便。最后，考虑一种特殊情形。对于积分：

可以理解为一个含参变量x的振荡积分。但是，也可以理解为如下的累次积分。

易知此累次积分是收敛的。并且可以证明，上述两种理解是一致的。通常，在书写上常将振荡积分中积分符号上的波纹“~”略掉，直接写为：

位相函数

x，θφ(x，θ)≠0)，则称φ(x，θ)是Γ上一个位相函数。记Cφ={(x，θ)∈Γ|φθ(x，θ)=0}.它是φ关于θ的临界点集。若一个位相函数φ(x，θ)在Cφ上的N个n+N维向量{dx，θφθj}(j=1，2，…，N)是线性无关的，则称φ为非退化的位相函数。设φ(x，y，θ)是一个位相函数。若它对任一固定的x而言又是y，θ的位相函数；且它对任一固定的y而言是x，θ的位相函数，则称这样的φ(x，y，θ)是算子位相函数。

是X×R^N上的算子位相函数，但不是非退化的。

振幅函数

关于任意多重指标的偏导数满足某种类型不等式的函数。设X是R中开子集，0≤ρ，δ≤1，m为任意实数。若函数a(x，θ)∈C∞(X×R^N)满足如下条件：对任意多重指标α，β及X中的紧集K，存在常数Cα，β，K>0，使当x∈K，θ∈R^N时有：

则称a(x，θ)是m次(ρ，δ)型振幅，记为a∈Sρ，δ(X×R).Sρ，δ振幅函数类首先由赫尔曼德尔(Ho¨rmander，L.V.)引进.从历史上看，最古典的振幅函数类是其中函数a(x，θ)∈C(X×R)关于θ为m次齐次函数(它显然属于S1，0(X×R))。而赫尔曼德尔所引入的上述Sρ，δ，其主要特色在于用微分不等式代替了齐次性。

Sρ，δ类是较为典型的振幅函数类。而在处理具体问题时，将出现一些新的特殊的振幅函数类，并且还要对它们建立一套与相应的算子相配合的运算规则以及相应的振荡积分理论等。

下面仍以Sρ，δ类为例来叙述振幅函数类的一些概念及性质。取X中的上升紧集序列{Kj}使：

对于a(x，θ)∈Smρ，δ(X×R^N)，记使上述微分不等式(1)成立的最小常数Cα，β，Kj为ρα，β，j[a].易知它们构成一个可分离的可列半模族，且用它装备函数类Sρ，δ(X×R)后使得Sρ，δ(X×R)成为一个弗雷歇空间.一般地，振幅函数a(x，θ)常取渐近展开的形式：

具体地，设{mj}(j=0，1，2，…)是一个单调下降趋于-∞的实数列.又设a(x，θ)∈Sρ，δ，aj∈Sρ，δ.若对任意非负整数l有a(x，θ)-aj(x，θ)∈Sρ，δ，则称：

是a(x，θ)的渐近展开.运用古典的波莱尔技巧可以证明，对于{aj(x，θ)|aj∈Sρ，δ}(j=0，1，2，…)，其中{mj}如上，则存在a(x，θ)∈Sρ，δ使得：

且在modSρ，δ下此a(x，θ)是惟一确定的。

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