推出

范畴论概念

推出push out是范畴论中的一个概念，定义是给定范畴C与J=与对角函子Δ:C→CJ，f:a→b与g:a→c为C中态射，则推出为从到Δ的泛态射，其对应的始对象为。

定义

J=·←·→·的归纳极限为推出。

泛性质

明确地说，态射f与g的推出由一个对象P和两个态射i1:X→P与i2:Y→P组成，使得图表交换：

并且，推出 (P,i1,i2) 关于这个图表必须是通用的。这就是说，任何其它这样的三元组 (Q,j1,j2)，一定存在一个惟一的u:P→Q使得如下图表交换：

和所有泛构造一样，推出如果存在，则在差一个同构态射的意义下是惟一的。

例子

这里有一些类似范畴中推出的例子。注意每种情形，我们只构造推出同构类中的一个对象；如上所述，可能有其它构造方法，但是它们都是等价的。

1.若C为集范畴Set，则为b与c的可区分的并，且任意x∈a，fx与gx黏合为同一个点。

2.若C为拓扑空间范畴Top，则为黏着空间，其构造与集范畴类似。上面的一个特例是楔和或一点并；这里取X与Y为带基点的空间而Z为 1 点空间。那么将X与Y的基点黏合起来得到的空间，便是推出。

3.在阿贝尔群范畴中，推出可以想象为“黏合直和”，以这种方式我们将黏着空间视为“黏合不交并”。零群是任何群的子群，所以任何阿贝尔群A与B，同态f: 0 →A以及g: 0 →B的推出是A与B的直和。把这种情形推广为f与g是任何有公共定义域的同态，我们得到直和的一个商群，即模去由 (f(z),-g(z)) 组成的子群。从而我们将Z的通过f和g黏合起来了。一个类似的技巧得出任何R模范畴中的同构。

4. 在群范畴，推出称为共合积。下面在代数拓扑的塞弗特-范坎彭定理中展示出来。

性质

构造

上述所有例子都可以看成下面非常一般的构造的特例，这对只要余积和余等化子存在的任何范畴C都可行：

分两步，先构造靶X与Y的余积。得到从Z到这个余积的两个态射：从Z通过f到X，然后包含到余积；或者从Z通过g到Y，再包含到余积。f与g的推出便是这两个新态射的余等化子。

应用

回到拓扑，塞弗特-范坎彭定理回答了如下问题。假设我们有一个连通空间X，被两个连通开空间A与B覆盖，它们的交D也是连通的（假设基点 * 在A的交中）。如果知道A,B与D的基本群，我们可以求出X的基本群吗？答案是肯定的。

假设我们也知道包含同态π1（D,*）→π1（A，*）与π1（D，*）→π1（B，*）定理说空间X的基本群是这两个包含映射的推出。当然，X是D到A与B的两个包含映射的推出。从而我们可以将这个定理更深刻地理解为基本群函子保持包含推出的基本群。我们可能预计当D是单连通时最简单，因为两个上面同态的定义域都是平凡群。事实上确实如此，因为此时群的推出退化成自由积，即群范畴中的余积。在更一般的情形我们可以说是带共合的自由积。

下面所列 J. P. May 的书中，在稍一般情形（覆盖广群）给出了详细地说明。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省