描述集合论

集合论的形式和方法

描述集合论(descriptive set theory)是集合论的一种形式和方法，描述集合论处理可用一些简单方法描述的实数集合，即有简单拓扑结构的或可用简单方法定义的集合，因为有些问题对任意实数集难于回答，但对有简单描述的集合问题变得容易得多。

基本介绍

描述集合论(descriptive set theory)是集合论的一个分支，是研究可以用简单的方式予以描述的实数集合或其他具有类似结构的集合的数学分支。

有不少数学问题，看来对于任意实数集合是不可回答的，如已经证明，连续统假设在ZFC系统中是不可确定的。还有些数学问题，对任意实数集合而言，其答案令人感到不很协调，例如在选择公理之下，存在实数的勒贝格不可测集。当人们转而讨论一类特殊的实数集合——有简单拓扑结构的集合，或以某些简单方式逐层定义的集合，这些问题就有了明确的、令人感觉协调的答案了。最早的例子是1883年的康托尔-本迪克松定理：实数的每个闭集至多可数或包含有完全子集。注意到实数的完全子集的基数是，所以，实数的闭集的基数要么，要么=，即连续统假设对闭集成立。19世纪末和20世纪初，波莱尔((F.-É.-J.-)É.Borel)、法国数学家贝尔(R.L.Baire)和法国数学家勒贝格(H.L.Lebesgue)等人创建了描述集合论这一分支，他们以及后来的俄国数学家卢津(Луэин，Н.Н.)、波兰数学家谢尔品斯基(W.Sierpinski)、俄国数学家苏斯林(М.Я.Суслин)等人的工作主要是详细研究波莱尔集合的构造及性质，以及不借助于诸如选择公理这种非能行的方法而构造更多类的实数集合，并研究它们的性质，主要研究的是解析集和射影集，它们都有很好的性质，这些研究属于经典描述集合论。另一方面，借助于递归函数论，美国逻辑学家、数学家克林(S.C.Kleene)和其他逻辑学家从20世纪30年代至20世纪50年代，建立了一套完美的ω子集的可定义性理论。到了1959年，艾迪生(J.W.Addison)证实了克林的可定义性理论和经典的描述集合论实际上讨论的是同一对象。今天所讨论的描述集合论是结合了这两种理论的一般理论，即能行描述集合论。现代描述集合论已成为集合论和递归论之间的交叉学科，近年来的发展尤为迅猛。

描述集合论又称谱系理论，是数学的一个分支。波莱尔集(或贝尔函数)的理论和射影集的理论可以认为是谱系理论的一个例子。特别是，我们有这种集合，(或函数)的“级”的概念，并且当级”变得更高时，给出或描述所属的集合在本质上将变得更加复杂。描述集合论是从所谓法国经验主义的观点来研究的一个数学分支。利用递归函数的理论，S·C·克林成功地建立了谱系理论，它本质上包含古典描述集合论作为其极端情况。虽然M·截维斯、A·莫斯托夫斯基和其他人基于递归函数的理论而研究谓词的谱系，但是，使该理论成功地发展成几乎完全的形式的是克林。

相关概念

因为集合或函数都可用谓词来描述，所以下面的讨论将以谓词为中心，设为在自然数集合N上变化的变元，而为在所有一元数论函数的集合上变化的变元，设为任意给定的数论函数。如果具有两种类型(自然数和数论函数)变元的谓词能够从一般递归于的谓词出发，经过有限次运用逻辑符号：而得到，则称该谓词是解析(analytic)于的。特别是，当P不用函数量词而可表示时，则称它是算术(arithmetical)于的。当时，谓词P分别相应地简称为解析的和算术的。

为简单起见，我们考察的情形，而且用表示序列，每个算术谓词可先转化为前束范式，然后使用以下公式及其“对偶式”(dual form)而把相继的同一种量词合成一个：

(1)

于是它便可以用写在下表(a)中的某一形式来表示：

（a）

这里，R为一般递归谓词。我们对(a)中的每一种谓词形式(或具有这种形式的谓词全体)，根据它的量词个数k以及最外边的量词为存在量词或全称量词而记为或。可用两种形式和来表示的谓词(或这种谓词全体)则记为。一个谓词属于的充分必要条件为它是一般递归的(类似于Souslin定理)。

对于k≥1，恒存在一个枚举(或)的谓词全体的枚举谓词(enumerating predicate)。例如，对于和m=n=1而言，存在一个原始递归谓词，使得当任意给定一个一般递归谓词时，我们恒有一个自然数，使得

(枚举定理(enumeration theorem))。在这个定理中，我们可以把取为。对每个k≥0，都存在一个(或)谓词，它不可在其对偶形式()中来表示(因此，当然不可能在和中来表示)（谱系定理（hierarchy theorem））。

所以，上面的表(a)便是算术谓词的谱系分类．这个谱系称为算术谱系(arithmeticalhierarchy)。对每个k≥1，都有一个关于()的完备(complete)谓词，即存在一个仅具有一个变元的()谓词，使得任何的()谓词都可通过将它的一个变元代以一个适当的一般递归函数(或更严格地，代以一个原始递归函数)来表示(完备形式定理(theorem on complete form)。当m=0时，一般递归于的谓词全体和是相同的(Post定理)。

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