收敛性

数学分析的基本概念

数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。

定义

数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。

常见收敛性

依分布收敛

亦称“弱收敛”，称随机变量列依分布收敛于随机变量X，记作Xn⇒X，如果在X的分布函数 F(x)的每一连续点x上，Xn的分布函数Fn(x)收敛于F(x)。

依概率收敛

亦称“随机收敛”。称随机变量列{Xn}依概率收敛于随机变量X，记作或，如果对于任意，有。

以概率1收敛

亦称几乎必然收敛。称随机变量列X1，X2，…，Xn，…以概率1收敛于随机变量X，记作或，如果，若随机变量列以概率1收敛，则它必依概率收敛，反之则未必。

均方收敛

即“平均收敛”，概率论中常用的一种收敛性，{ξn，n≥1}是随机变量列，且E|ξn|<+∞，如果E|ξ|<+∞，且E|ξn-ξ|=0.，则称ξn均方收敛到随机变量ξ.均方收敛在随机分析及随机过程中占有重要地位。

收敛性研究

136 非协调有限元收敛性研究的进展

为检验非协调元的收敛性，1970年代西方学者lrons提出“小片检验”准则，一直未获证明。

其后，德国数学家Stummel 指出该准则并非收敛性的充要条件。中国学者石钟慈分析了工程计算中一些不满足“小片检验”准则却有收敛效果的实例，从理论上证明了这些实例在某些场合下确为收敛，否定了“小片检验”的必要性，并给出可获收敛结果的网格剖分条件。从而扩大了非协调元的使用范围，在理论和实际上均具有重大意义。

石钟慈还发现并首次从理论上研究了非协调元的一种较普遍存在的奇特的错向收敛现象。即有限元近似解可收敛到非真解的错误极限。他找到若干这种非协调元，具体给出其错误极限，证实非协调元的解有时强烈依赖于网格剖分的几何形状。

Stummel后来提出非协调元收敛的充要条件：广义小片检验。因过于理论化，实践中不便应用。石钟慈采用了小片检验的某些合理内核，并运用广义小片检验严格的数学论证方法，提出一种理论上严格、又简便实用的非协调元收敛性的F—E—M准则。运用这一准则可以方便地检验包括未通过小片检验的元在内的大量非协调元。

坎托罗维奇定理

牛顿迭代法的半局部收敛定理.它是俄国数学家坎托罗维奇(Канторович，Л.В.)于1948年首先给出的，在迭代法收敛性研究中有深远影响.定理内容为：假定F：D⊂R→R及初始近似x满足下列条件：

1.F′(x)存在，且‖F′(x)‖≤β，‖F′(x)F(x)‖≤η;

2.在x的邻域S(x，δ)⊂D内F′(x)存在，且满足条件：‖F′(x)-F′(y)‖≤r‖x-y‖，对任何x，y∈S(x，δ)，并且 η ， η时，则方程F(x)=0于S(x，δ)有解x存在，同时，由牛顿法x=x-F′(x)F(x) (k=0，1，…)，产生的序列{x}收敛于x，且有误差估计‖x-x‖≤θ2θη，其中。

拉克斯等价性定理

揭示差分方程相容性、稳定性与收敛性三者之间关系的重要定理.该定理表述为：对于适定的线性偏微分方程组初值问题，一个与之相容的线性差分格式收敛的充分必要条件是该格式是稳定的.该定理以美国数学家拉克斯(Lax，P.D.)命名，利用这一定理，可把困难的收敛性研究转化成对相容性与稳定性的讨论.

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