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收敛速度

在数值分析中， 收敛序列向其极限逼近的速度

在数值分析中, 一个收敛序列向其极限逼近的速度称为收敛速度(Rate of convergence). 该概念多用于最优化算法中; 其被定义为一个迭代序列向其局部最优值逼近 (假设计算过程收敛, 并能达到最优值) 的速度, 是评价一个迭代法于该问题中发挥的性能的一个重要指针.

定义
收敛速度以收敛阶衡量, 亦可以收敛因子描述; 依计算方法的不同, 有下述两种收敛阶.
商收敛因子及商收敛阶
一、商收敛因子 的定义式如下:
商收敛因子也称Q—因子, 商收敛阶也称Q—收敛阶. 利用商收敛因子, 对收敛速度进行描述的方式如下:
1、如果 , 则称 是Q—超线性收敛于 ; 如果 , 则称 是Q—线性收敛于 ; 如果 则称 是Q—次线性收敛于 .
2、如果 , 则称 是Q—超平方收敛于 ; 如果 , 则称 是Q—平方收敛于 ; 如果 , 则称 是Q—次平方收敛于 .
注意: Q—线性收敛与Q—平方收敛, 以及Q—次线性收敛与Q—次平方收敛的评判标准有些微差别. “Q—平方收敛”也称为“Q—二次收敛”.
依照Q—平方收敛 (不是Q—线性收敛) 的定义, 可以定义Q—立方收敛 （将 改为 ）, Q—四次方收敛等更高Q—收敛阶.
二、商收敛阶的定义式如下:
对比商收敛因子的描述, 商收敛阶是指求出一个数 (不一定是整数), 使得对于 , 点列 都是Q—次 次方收于, 且对于 都是Q— 次 方收敛. 而这个数 就是点列的商收敛阶.
根收敛因子及根收敛阶
一、根收敛因子 的定义式如下:
根收敛因子也称R—因子, 根收敛阶也称R—收敛阶. 利用根收敛因子, 对收敛速度进行描述的方式如下:
1、如果 则称 是R—超线性收敛于 ; 如果 , 则称 是R—线性收敛于 ; 如果 , 则称 是R—次线性收敛于 .
2、如果 , 则称 是R—超平方收敛于 ; 如果 , 则称 是R—平方收敛于 ; 如果 , 则称 是R—次平方收敛于 .
注意: R—次线性收敛与R—次平方收敛的评判标准有些微差别. “R—平方收敛”也称为“R—二次收敛”.
依照R—平方收敛 (不是R—线性收敛) 的定义, 可以定义R—立方收敛 (将 改为 ), R—四次方收敛等更高R—收敛阶.
二、根收敛阶 的定义式如下:
对比根收敛因子的描述, 根收敛阶是指求出一个数 (不一定是整数), 使得对于 , 点列 都是R—次 次方收于, 且对于 都是R— 次方收敛. 而这个数 就是点列的根收敛阶.
两种收敛阶的联系
对于一个收敛点列而言, 其Q—收敛阶不大于其R—收敛阶, 即
有时, 一个数列的R—收敛阶可能很高, 但其Q—收敛阶可能很低. 当然可以证明, 一个R—收敛阶高的点列至少比某些Q—收敛低的点列收敛得更快.
实例
数列
有如下向量列:
据上作出计算如下,
故数列为Q线性收敛; Q收敛阶为1;
故数列为R线性收敛; R收敛阶为1.
优化算法的迭代点列
对于牛顿法,可以证明, 如果牛顿法的目标函数 的二阶导数 在其收敛点 处Lipschitz连续, 则满足不等式
此说明牛顿法的迭代点列是Q平方收敛; 另言之, 牛顿法的收敛速度是二次的.
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