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整数加法群

全体整数在通常的加法运算下所成的群

整数加法群(additive group of integers)亦称整数加群，是一种具体的群，指全体整数在通常的加法运算下所成的群，常用Z表示整数加法群。同样地，所有有理数Q，实数R以及复数C对于通常的加法运算所成的群，分别称为有理数加法群、实数加法群和复数加法群。

基本介绍
整数及整数上的加法运算构成了群（有的书籍写做），称之为整数加法群。其中0是群的单位元，每一个元素的逆元是它的相反数。
整数与整数上的乘法运算不能构成群，因为除了元素1和-1外，所有元素都不存在逆元。类似地，都是群，而都不是群，因为元素0没有逆元。都是群，两个群的单位元均为1，元素的逆元是该元素的倒数。
整数加法群，是由整数Z和整数加法运算+组成。其单位元0；
封闭性：；
结合律：；
逆元：。
相关性质
① 子群设G是群，，若H具封闭性、单位元、逆元，称H是G的一个子群，记号。换句话说，若，则H是G的一个子群。作为群公理之一的结合律，因为H继承了G的运算，所以自然成立，因此，子群也是群。
考虑整数加法群，自然可以想到，在偶整数上做加法可以成群，如0+2=2，2+4=6…定义为整数上的所有偶数，则是的子群。
事实上，对任意整数b，定义，则是的子群。
整数加法群是的子群。
②循环群 设g是群G中一个取定的元素，若群G的任意一个元素可以写成的形式，则称G循环群，称g为群G的一个生成元，可写成。
循环群(cyclic group)是一种重要的群，即由一个元素生成的群。循环群分为两类：一类是有限循环群，n个元的有限循环群与模n的剩余类加群同构；另一类是无限循环群，它与整数加法群同构，循环群是特殊的阿贝尔群，循环群的子群和商群仍是循环群。
整数加法群中，任意元素a都可以表示成1或-1的幂，因此是循环群。
在整数加法群上做一些小修改可以做出另一个有意思的循环群，其中，同余加法定义为。在这里，也就是说(n个1相加模n余0)。所以，是n阶循环群。
③交换群 具有交换性的群称为交换群。交换性：。
整数加法群是交换群，因为整数加法满足交换律。一般线性群由所有的可逆矩阵和矩阵乘法组成，它不是交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。
④在整数加法群中，0的周期是1，除0以外的其他元素的周期都是无限的。
群公理
在数学中，群是一种代数结构，由一个集合S与一个二元运算·组成，要成为群，还需要满足一些条件，这些条件被称为“群公理”，即封闭性、结合律、单位元和逆元。
1．封闭性，即。
2．结合律，即。
3．单位元，即有一个元素(在群G中常用或1表示单位元)。
4．逆元，即，记。
可以定义元素a的幂为：。
值得注意的是，二元运算·仅表示抽象的运算符号，在不同的群中解释不同。在不引起歧义的情况下经常将符号·省略。
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