整数部分

数学学科名词

整数部分（Integer part）是指不大于一个数的最大整数。用[ ]表示。

基础知识

计数单位:一(个)、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。

十进制计数法：10个一是十，10个十是百……10个一百亿是一千亿，每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法。

正整数大小的比较：比较两个多位数的大小，首先看它们位数的多少，位数较多的数较大；如果两个数的位数相同，那么首先看最高位，最高位上的数较大的，这个数就大；如果最高位相同，则看下一位上的数，下一位上的数较大的，这个数就大。

小数的大小比较：先看整数部分，整数部分较大的，这个数就大；整数部分相同就看十分位，十分位较大的，这个数就大；十分位相同就看百分位，百分位较大的，这个数就大。以此类推。

表示方法

数学上整数部分用[ ]表示，例如 [3.4]=3，[8.9]=8。小数部分则为{X}=X-[X] ，比如{8.9}=8.9-[8.9]=8.9-8=0.9。

性质

1.一个整数的整数部分是它本身。

2.分数的整数部分可用分子除以分母（结果用小数表示）表达，小数点前面的数字即为整数部分。

3.对任意x∈R，均有 x－1<[x]≤x<[x]+1。

求解方法

1.通过直接计算出精确结果，确定结果的整数部分。

2.通过找规律、估算、推理等巧妙方法，很简便地直接确定结果的整数部分，不需要通过复杂计算求出精确的结果。

一种方法是放缩法。把一组小数相加，如果其中最大数与最小数相差小于等于0.1，则可以通过缩放，先求出它们和的取值范围，再根据和的范围确定它的整数部分。同理，在乘除法计算中，也可以通过缩放乘数、除数或被除数，先求出积或商的范围，再根据范围确定计算结果的整数部分。另外也可通过部分忽略的方法求整数部分。10个一位数相加最大只能满九十（进9），因此某些有规律排列的10个数相加，能影响到和的整数部分的，往往只有这10个加数的百分位之前（包括百分位）的有效数字，百分位之后的各个数位上数字则不起作用。针对这种情况，要求出10个加数的和的整数部分，各个加数百分位之后的各个数位可以忽略不算，只看百分位之前（包括百分位）的部分进行计算即可。

举例

例1.比较10.11和12.11的大小。

解：小数的大小比较应该先看整数部分，整数部分较大的，这个数就大。故12.1110.11。

例2.求5.5+5.65+5.665+5.6665+…+5.6666666665和的整数部分。

解：10个加数整数部分的和：5×10=50；10个加数十分位上数值的和：0.5+0.6×9=5.9；10个加数百分位上数值的和：0.05+0.06×8=0.53；50+5.9+0.53=56.43。通过估计，可知这10个数千分位及以后各个数位上数值的和已经无法影响总和的整数部分的大小了。所以，原题和的整数部分为56。

例3.设A=0.8+0.88+0.888+…+0.88888888，求A的整数部分。

这题可以用放缩法确定A的整数部分。

解法一：

假设题中10个加数都等于最大的第10个加数，则10个数的和为第10个加数的10倍，是8.888888888；假设题中10个加数都等于最小的加数0.8，则10个数的和为0.8的10倍，是8。显然A的大小在8和8.888888888之间，比8大，比9小。所以A的整数部分为8。

解法二：

直接把10个加数扩大到0.9，则和为9；直接把10个加数缩小到0.8则和为8。显然A的大小在8个9之间，它的整数部分是8。

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