斜坐标系

笛卡尔提出的几何术语

互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，而如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”。

基本介绍

定义

所谓斜坐标系就是以平面内任意两个不共线矢量、所在的直线为轴、轴，建立如图（1）所示的斜坐标系，

其中矢量称为该斜坐标系的单位矢量，它们的夹角，O为坐标原点，则由平面矢量基本定理可知：对于该平面内任意给定的矢量可以表示为单位矢量的线性叠加，而且这种表达式是唯一的，即

为了表述方便，这里有序实数对被分别定义为矢量在斜坐标轴的坐标，也可以称作是该矢量在两坐标轴上的投影。

相关性质

和直角坐标系一样，矢量在斜坐标系中同样具有如下主要性质：

性质1：在如图1所示的斜坐标系中，点O、A、B的坐标分别表示为（0，0）；（1，0）；（0，1）。

性质2：由矢量平行四边形法则可知：任意矢量都可以沿坐标轴分解为，且与P的坐标和单位矢量满足关系式。

注意事项

首先，应该根据物理问题情境，尤其是根据初始条件建立恰当的斜坐标系。我们必须清楚：利用直角坐标系主要是为了简化数学处理过程；而斜坐标系主要是为简化物理过程而引入的，例如在处理质点平面运动的时候，虽说斜坐标系有时会获得一举双得的效果，既能直接还原物理本质，又能简化问题处理过程；但是在具体使用时，必须知道斜坐标系的使用方法和注意事项，其中每一条轴尽可能代表质点的某一具体的运动形式，例如匀速直线运动，自由落体运动、匀变速直线运动等。其次，在斜坐标系中，不同轴所代表的质点运动形式是相互独立的。最后，在斜坐标系中，不但质点的平面运动的合成与分解，而且矢量的运算法则均和直角坐标系中的情形完全一样，比如平行四边形法则；三角形法则；正弦定理和余弦定理等。

应用举例

下面我们通过具体实例来体会利用斜坐标系处理部分质点平面运动中的优势。

实例：如图2所示，在倾角为的斜坡坡底处，以初速度、与斜面夹角为的方向抛射物体，求物体在斜面上的射程。

为了集中体现斜坐标系在处理类似问题中的作用，我们不妨用直角坐标系的和斜坐标系两种方法来解决这个问题。

解：（斜坐标系法）我们可以以抛出时为初始时刻建立如图3所示的二维斜坐标系，其中轴的方向与方向一致，轴与重力加速度的方向一致。在该斜坐标系中，质点的平面运动是由沿方向的匀速直线运动和沿重力方向的自由落体运动合成的。

如图3所示，设物体在斜面上的射程为OA,从抛出点o开始，经过时间t后，物体落到斜面上A点。在轴，物体发生的位移为：

在y轴，时间t物体走过的位移为：

通过位移矢量三角形可以求解物体在斜面上的射程OA.具体如下：

在中，由几何关系可知，

由正弦定理可知：

即：

由首末两项可求得时间：

把（3）式代入（2）中，再次利用（2）式的第二项和第三项，可以解出物体在斜面上的射程

斜坐标系最明显的特点是每一个坐标轴代表质点的最基本的运动形式，例如匀速直线运动，自由落体运动等；其次，该方法充分利用矢量性质和数学定理。基于这些，斜坐标系法具有计算简单，理解容易，过程直接等特点。

评析：在质点的平面运动教学中，斜坐标系处理方法的作用不仅仅局限于上述情形，上面的例子只是窥豹一斑，挂一漏万，不足以说明教学的全部，但是通过前述实例可以看出有时采用斜坐标系可以实现如下主要教学效果。

1. 在质点平面运动中，适时巧妙的引入斜坐标系有利于简化物理过程斜坐标系相比直角坐标系没有本质上的不同，只是在处理质点的平面运动时，斜坐标系在对运动分解后的运动形式更为直接、简单。从例子可以看出来，在斜坐标系中，可以把质点的运动分解为最简单的匀速直线运动和最基本的初速为零的匀加速直线运动；而在直角坐标系中，两个坐标轴上的分运动依然是初速不为零的匀变速直线运动，这样一来，斜坐标系方法可以大大简化处理过程。

2. 有时利用斜坐标系处理问题，有利于加深对矢量的性质、数学定理的理解和运用在用斜坐标系方法处理运动学问题时，必须对矢量的平移不变性这一性质有较深的认识和理解，同时依据平移不变性，要具备善于巧妙构建矢量三角形的能力；此外，从数学角度而言，要求能熟练地运用正弦定理处理物理问题，所有这些要求无疑会提高解决物理问题的综合素质。

3. 斜坐标系方法的引入有利于培养的创新思维。面对质点平面运动问题时，绝大部分人习惯于、甚至依赖于直角坐标系（这当然不失为一种方法），如果能根据实际巧妙的引入斜坐标系，这种另辟蹊径的方法定会使思维耳目一新、面对新的物理问题情境会变得豁然开朗、迎刃而解；潜移默化中，创新思维会得到极大地锻炼和提升。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省