斜堆

使用二叉树实现的堆状数据结构

斜堆,也叫自适应堆(self-adjusting heap),是一种使用二叉树实现的堆状数据结构,一种自适应的左偏树。其优势是其合并的速度远远快于二叉堆

定义
斜堆可递归的定义如下:
● 只有一个元素的堆是斜堆。
● 两个斜堆通过斜堆的合并操作,得到的结果仍是斜堆。
与左偏树的区别
相比于左偏树
操作
合并
我们可以用左偏树的合并算法实现两个斜堆的合并。
除此之外,还有一种非递归的算法。
● 分割每个堆。方法是从根节点开始,右子树与根节点分离,然后右子树以同样的方式分割。
最后得到一个树的集合,集合中的树的特点是:其根节点只有左子树或者没有子树。
● 对集合中的树,按照根节点的值从小到大排序。
● 从右到左,不断地合并最后两个子树,直到只剩下一棵树。
合并方法是:
● 如果倒数第二棵树有左子树,那么把左子树变为右子树。
● 把最后一棵树作为倒数第二棵树的左子树。 合并的时间复杂度分析 :斜堆合并的摊还时间为O(logN)
定义:一个节点p,若其右子树的后裔数至少是p的后裔数的一半,则称p是重节点,否则称为轻节点
位势的选取:右路径上重节点的数目
证明:
令H1和H2为两个斜堆,节点数为N1和N2,右路径上轻重节点数目分别为l1和h1、 l2和h2
若合并代价定义为右路径上节点总数,则代价为l1+h1+l2+h2
合并操作的重要特性:右路径上的重节点肯定变为轻节点;而轻节点可能不变,也可能变为重节点。
考虑最坏情况,当然是所有轻节点均变为重节点
则位势(重节点数)的变化为l1+l2-h1-h2
平均摊还时间=代价+位势变化=2(l1+l2)
现在只需证明l1+l2=O(logN)
而l1和l2是原右路径上的轻节点数目,而轻节点左子树重、右子树轻,因此l1+l2至多为logN1+logN2,即O(logN)
而初始位势为0,始终非负,命题得证。
      
添加
添加元素,就是合并原斜堆和一个节点的斜堆。同左偏树
删除
删除根节点,合并左右子树。同左偏树
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