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施瓦兹三角形问题

数学术语

施瓦兹三角形问题(Schwarz triangle problem)是关于三角形的极值问题，在锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长为最短，此问题最早由法尼亚诺(dei.T.G.C.Fagnano)提出，他用微积分的方法给出了一个解答，因此，这个问题也称为法尼亚诺问题。施瓦兹(H.A.Schwarz)在一篇论文中，利用垂足三角形的性质及反射原理巧妙地证明了这个问题，施瓦兹三角形因此而得名，他的证明后来被莫利(F.Morley)和莫莱(F.V.Morle)推广到2n+1角形的情况。

基本介绍
在已知的锐角三角形内，作顶点分别在其三边上的三角形，从中找出周长最短的一个，这是关于三角形的一个著名的极值问题，叫做施瓦兹(H.A.Schwarz)三角形问题。
可以证明，当内接三角形的顶点分别是已知锐角三角形的三条高的垂足时，所求得的三角形的周长最短。
该问题是意大利伯爵C.Fagnano(1682～1766)的儿子J.F.Fagnano(1715～1797)于1775年提出的，他给出了一个要用到微积分的证明。由于H.A.Schwarz(1843~1921)第一个用完全初等的方法给出了一个十分漂亮的解法，所以许多人把此问题称为Schwarz三角形问题，Schwarz的证明后来被美国人FrankMorley(1860~1931)推广到2n+1边形的情况。
在锐角△ABC中，若D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足，则在△ABC的所有内接三角形中，垂足三角形DEF的周长最短。
施瓦兹三角形问题的证明
证明一
下面的证明源于H.A.Schwarz。
如图1，设△DEF是△ABC的垂足三角形，△PQR是任意内接三角形
由于第一次反射使 按逆时针方向旋转了角度2A，第二次反射使 按逆时针方向旋转了角度2B，第三次反射时 方向没有变化，第四次、第五次反射中 及 分别按顺时针方向旋转了2A和2B，故经过上述五次反射后，
。
证明二
下面是Fagnano问题的另一种解法，这一解法属于法国的小Gabriel-Marie。
设△XYZ内接于△ABC，作出点X关于AB、AC的对称点X1、X2，则ZX1= ZX，YX2= YX，折线X1ZYX2的长度等于△XYZ的周长。显然，对于某个固定的点X，只有当Y、Z在线段X1X2上时，△XYZ的周长才能最小，其最小值为X1X2的长度，又由于AX1= AX2= AX，∠X1AX2=2A (定角)，
，X1X2的长度取决于AX的长度，只有当AX⊥BC时，X1X2才有最小值，因此，要使△XYZ的周长最短，必须AX⊥BC，同理，必须BY⊥AC，CZ⊥AB。故周长最短的内接三角形是△ABC的垂足三角形。
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