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柯西-施瓦茨不等式

数学名词

柯西-施瓦茨不等式，最初于1821年被柯西提出，故大多数时候被简称为“柯西不等式”。其积分形式在1859被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦兹于1888年给出。由于柯西不等式的积分形式在分析学中占有十分重要的地位，故历史上，该不等式又称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。

发展简史
定理发展
该不等式最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出，证明由施瓦兹于1888年给出。因而该不等式经常被称为“柯西不等式”，也被称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。
该不等式可以推广到其它多种形式，并且可以应用于许多场景，在分析学中具有重要的地位。
柯西生平
柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。他一生一共著作了789篇论文和几本书，被认为在写作数量上仅次于欧拉的人。在他的著作中，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。然而，他曾被人批评“高产而轻率”，这是因为他并不是所有的创作都有着很高的质量。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。
定理内容
柯西不等式的原始形式描述了离散形式的变量的大小关系：
式中的各个变量均为实数。
柯西不等式的积分形式描述的是闭区间上实值连续函数的定积分值所遵循的大小关系。对于闭区间[a,b]上的连续函数f和g有：
定理证明
对于上述定理，可以采用多种不同的方法来证明。
离散形式证明
方法一：利用均值不等式
直接利用多项式乘法运算的规则，将式子两边展开成多项式。
式子左边
式子右边
由均值不等式，可知，从而原不等式得证。
方法二：作差
将待证不等式两侧作差，可以得到
于是原不等式得证。
方法三：利用平面向量数量积
给定两个平面向量
由平面向量的数量积运算规则可知
其中，
从而证明原不等式。当且仅当两向量共线时，即时，上式取等号。
方法四：构造非负的二次函数
令
由于其形式可以写为两个平方式的和，故对于任意的实数 ，有 恒成立。
再考虑其写成二次函数的形式。对于开口向上的非负二次函数，其判别式应满足
移项后即得原不等式成立。当且仅当 有解时，也即 时，上式取等号。
方法五：构造半正定的二次型
令
显然这是一个半正定二次型，故其系数矩阵的行列式是非负的，也即
从而原不等式得证。
积分形式证明
可以用下面的方法来证明柯西不等式的积分形式。
方法一：构造辅助函数求导证明
令
求导有
故F(x)在区间[a,b]上单调递减， ，移项后即证明了原不等式。
方法二：构造非负的二次函数
考虑关于实数 的二次函数
对于开口向上的非负二次函数，其判别式应满足
移项后即证原不等式。
方法三：利用重积分
利用式子展开后移项立得积分形式的柯西不等式。
定理拓展
本部分列举柯西不等式的推广形式若干例，并对部分形式给出简要的证明。
高维离散情形
柯西不等式的高维离散形式为
并且，当且仅当，或，或时，等号成立。
该形式的证明可以用前述的方法类似地完成。
方法一：利用均值不等式和数学归纳法
，在的前提下，可证：从而可以从二维情形开始，归纳地得到高维情形的柯西不等式。
方法二：作差
可以直接对两边式子作差，由比内-柯西(Binet-Cauchy)公式得：
从而原不等式得证。
方法三：利用高维向量内积
令
由
立得原不等式成立。
方法四：构造非负二次函数
令类似二维情形下的证明，联系其判别式立得。
方法五：构造半正定二次型
令类似二维情形下的证明，联系其系数矩阵行列式立得。
向量形式
在欧氏空间中，有
当且仅当两向量共线时等号成立。此即柯西不等式的向量形式。
更一般地，该式在一般的内积空间中也成立。对于其上给定的内积(x,y)及其诱导的范数 ，柯西不等式表述为：此即柯西不等式的内积空间形式。
三角形式
此即三角不等式，也被认为是柯西不等式的三角形式，其具有较为直观的几何意义——三角形的两边之和大于第三边。对于欧氏空间中的两向量，有
特别地，在二维情形下该式可以写为：一般地，该式在线性赋范空间中均成立。这是因为线性赋范空间以三角不等式作为公理。
概率论形式
对于两个随机变量，其期望满足：当两随机变量的概率密度函数均为连续函数时，该形式即为积分形式的柯西不等式的自然推论。证明该形式只需构造一个非负的随机变量，如下所示。
柯西-施瓦茨不等式的概率论形式的证明
对于任意实数 ，非负随机变量 的期望
因而关于的二次函数的判别式
移项，原形式即得证。
从上面的证明过程中可以看出，该定理成立的根本原因是随机变量的期望是线性的。这意味着，如果将柯西-施瓦茨不等式推广到任意的线性函数或线性泛函上，都可以用上述类似的过程尝试证明。
赫尔德不等式
对于实数那么对于空间上的函数有
当p=2时，该不等式即为柯西不等式的积分形式。
赫尔德不等式在分析学中有着非常广泛的应用，揭示了空间之间存在的关系。
卡尔松不等式
对于实矩阵，有：
这里给出相应的证明如下：
卡尔松不等式的证明
记如果有某个，那么结论显然成立。现假设每个 都大于0. 要证原不等式，只需证对于如下的m个非负实数：利用均值不等式，可得：从而对于其中的i ，累加后得：从而，即原不等式得证。
当m=n=2时，可以看出卡尔松不等式退化为高维情形下的柯西不等式。
行列式形式
进一步地，对于两个实矩阵 ，有：
此处忽略其证明。当m=1时，可以看出上述不等式退化为高维情形下的柯西不等式。
定理应用
例1 已知，求的值。
解：由柯西不等式有是取等号的，故满足取等条件，两边平方，得，从而。
例2 求的最大值。
解：由柯西不等式，，取等条件为是可以取到的，故的最大值为。
例3 求方程的解。
解：由柯西不等式，，故满足不等式的取等条件，即得，从而可以利用一元二次方程求根公式，得是原方程的解。
例4 若级数收敛，证明级数收敛。
解：由柯西不等式，，而级数收敛，收敛，故收敛。
例5 求证：。
解：两边同时乘以 ，只需证成立即可。
由柯西不等式，可得成立，故原不等式得证。
例6 在约束下，求函数的最小值。
解：设向量，，由柯西不等式即得：
且上式的等号可以取到，于是所求函数的最小值为。
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