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施瓦兹空间

光滑函数空间

施瓦兹空间(Schwarz space)又称急降函数空间，是一类光滑函数空间。施瓦兹创建的分布理论是泛函分析的又一重要进展，而施瓦兹空间是分布理论中的一类重要基本函数空间。它的引入是实际需要的驱动，而并非是为了纯粹数学理论的发展与完善。为了求解卷积方程，施瓦兹通过傅里叶变换将其转化为乘积方程。这就需要定义分布的傅里叶变换，进而他引入了施瓦兹空间，从而解决了卷积方程的求解问题。他的这一研究策略蕴含着分析代数化的思想，这为做数学研究提供了一种可资借鉴的思路。这一策略也揭示出高度抽象的纯粹数学不但没有脱离实际，反而与实际问题有着密不可分的关系，而这也正是20世纪数学发展的特征之一。施瓦兹的这一工作丰富了广义函数理论，发展了经典的傅里叶变换，求解了卷积方程，给出了研究线性偏微分方程的新思路。

定义
中函数本身与任意阶偏导数急减的无穷次连续可微函数类称为施瓦兹空间。
等价定义
施瓦兹空间又称急降函数空间，定义为
这里
{为上具有直到m 阶在内的连续偏导数的函数}，
在S 上引人半范数族其中
这样，S成为一个弗雷歇空间。
我们也赋予半范数如下
则成为弗雷歇空间，并把它化为。
为了方便起见，约定微分算子D 中已带有因子
的傅里叶变式定义为
其中记称映射F为S上的傅里叶变换，傅里叶变换也记为。
施瓦兹空间上傅里叶变换的重要性质
(1) 若则且
(2) 若则
而且，若在S中则必有(在S 中)，因此傅里叶变换是S到自身的连续线性映射。
(3) 傅里叶变换F的逆变换公式
对于傅里叶变换反演公式为
其中
并且为拓扑同构，进而，
故是的逆变换，一对一，且双方连续。又据反射运算：是S到S上的同构，从而得到为拓扑同构。
(4) 设则
1.
2.
3.
4. 设则且
5. （帕塞瓦尔Parseval等式）若则
或
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