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旁切圆

数学术语

旁切圆是指跟三角形的一边及其他两边的延长线相切的圆。每个三角形都有3个旁切圆，它们的圆心称为旁心，旁心是三角形一内角平分线和另外两外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心，一般记为J。

简介
三角形的旁切圆是指与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，每个三角形都有3个旁切圆，各与三角形其中一边和另外两边的延线相切。而它们的圆心称为旁心，旁心是三角形一内角平分线和另外两外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心，一般记为J。
在三线性坐标系中，旁心分别是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。三角形关于顶点A、B、C的旁切圆的半径分别是 、 和 ，其中S表示三角形面积，a、b、c分别是A、B、C的对边。
旁切圆与三角形相切的点，和三角形相对的顶点连起，三线交于一点，称为奈格尔点。
费尔巴哈点等相关概念
旁切圆和内切圆有密切的联系。它们都与九点圆相切，切点称为费尔巴哈点。三个旁心与内心组成一个垂心组，也就是说内心是三个旁心所组成的三角形的垂心，而相应的三个垂足则是旁心所对的顶点。
旁切圆与三角形的边（或其延长线）相切的点称为旁切点。从一个顶点沿着三角形的边走到与之相对的旁切圆在对边的切点所用的距离必定是周长的一半，也就是说，这个顶点和它“对面”的旁切点将三角形的周界等分为两半。将三角形的每个顶点和与之相对的旁切圆关于对边的旁切点连起，则根据塞瓦定理，三线交于一点，这个点称为奈格尔点。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理，简称梅氏定理，是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。
旁切圆的性质
如图1，⊙O切BC边于D，切AB、AC的延长线于E、F，那么：
（1）OD=OE=OF；
（2）∠BOC=90° ∠A；
（3）BE+CF=BC。
事实上其逆命题也成立：
（4）如果O为∠A平分线上的一点，且∠BOC=90° ∠A，那么O为△ABC的旁切圆圆心（旁心）。
（5）如果O为∠A平分线上一点，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，且BE+CF=BC，那么O为△ABC的旁切圆圆心（旁心）。
旁切圆半径的性质
（1）性质1：在△ABC中，三边BC、CA、AB分别为a、b、c，AD为BC边上的高，⊙ 、⊙ 、⊙ 分别为△ABC中∠BAC所对的旁切圆，△ADC中∠ADC所对的旁切圆，△ADB中∠ADB所对的旁切圆。半径分别为 ，则： 。
推论1：在△RtABC中，三边BC、CA、AB分别为a、b、c，∠A=90°，AD为BC边上的高，⊙ 、⊙ 、⊙ 分别为△ABC中∠BAC所对的旁切圆，△ADC中∠ADC所对的旁切圆，△ADB中∠ADB所对的旁切圆。半径分别为 ，则： 。
（2）性质2：在△ABC中，三边BC、CA、AB分别为a、b、c，AD为BC边上的中线，⊙ 、⊙ 、⊙ 分别为△ABC中∠BAC所对的旁切圆，△ADC中∠ADC所对的旁切圆，△ADB中∠ADB所对的旁切圆。半径分别为 ，则： 。
推论2：在△ABC中，三边BC、CA、AB分别为a、b、c，∠A=90°，AD为BC边上的中线，⊙、⊙、⊙分别为△ABC中∠BAC所对的旁切圆，△ADC中∠ADC所对的旁切圆，△ADB中∠ADB所对的旁切圆。半径分别为，则：。
（3）性质3：在△ABC中，三边BC、CA、AB分别为a、b、c，AD为∠BAC的平分线，⊙、⊙、⊙分别为△ABC中∠BAC所对的旁切圆，△ADC中∠ADC所对的旁切圆，△ADB中∠ADB所对的旁切圆。半径分别为，则：。
推论3：在△ABC中，三边BC、CA、AB分别为a、b、c，∠A=90°，AD为∠BAC的平分线，⊙、⊙、⊙分别为△ABC中∠BAC所对的旁切圆，△ADC中∠ADC所对的旁切圆，△ADB中∠ADB所对的旁切圆。半径分别为，则：。
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