无偏估计量

数学术语

对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值。这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量。对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差。也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同，换句话说，希望估计量的均值（数学期望）应等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性（Unbiasedness）的要求。数学期望等于被估计的量的统计估计量称为无偏估计量。

定义

设是来自总体X的一个样本，θ是包含在总体X的分布中的待估参数。

若估计量的数学期望存在，且有，则称是θ的无偏估计量。

实际意义

在科学技术中，称为以作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。

例如，设总体X的均值𝜇及方差σ2都存在但均未知，因为，，这就是说不论总体服从什么分布，其样本均值是总体均值的无偏估计，样本方差是总体方差的无偏估计。若，则称是θ的渐进无偏估计量。

结论

结论一

设总体X的k阶中心矩存在，是X的一个样本，不论X服从什么分布，是的无偏估计量。特别地，不论X服从什么分布，只要E(X)存在，总是E(X)的无偏估计。

证明

因为与X同分布，所以。

结论二

对于总体X，设E(X)=𝜇，D(X)=σ2都存在，且σ2>0，若𝜇，σ2均未知，则σ2的估计量是有偏的。另一方面，由于，所以是σ2的渐进无偏估计量。

证明

因为，而

故

所以是σ2的有偏估计。

若在的两边同乘，即，而。

可见样本方差S2可以作为方差σ2的估计，而且是无偏估计。因此常用S2作为方差σ2的估计量。从无偏估计量的角度考虑，S2比二阶中心矩作为的估计好。

应用

在实际应用中，对整个系统（整个实验）而言无系统偏差，就一次实验来讲，可能偏大也可能偏小，实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差，所以无偏性只有在大量的重复实验中才能体现出来；另一方面，无偏估计只涉及一阶矩（均值），虽然计算简便，但往往会出现一个参数的无偏估计有多个，而无法确定哪个估计量好。因此，无偏性的作用在于可以把重复估计中的各次误差通过平均来消除。这并不意味着该估计量在一次使用时并能获得良好的结果。在具体问题中，无偏性是否合理，应当结合具体情况来考虑。在有些问题中，无偏性的要求可能会导出不同的结果来。

事实上，中的每一个均可作为θ的无偏估计量，究竟哪个估计量更合理，就看哪个估计量的观察值更接近真实值，即估计量的观察值更密集地分布在真实值附近。而方差能反映随机变量取值的分散程度，所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理，为此后人引进了估计量的有效性概念。

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