无公度线段

平面几何的基本概念

无公度线段(incommensurable line segments)亦称这两线段是不可公度的或不可通约的，平面几何的基本概念之一，指没有公度的两线段，无公度线段是存在的。例如，正方形的一边和它的对角线就是无公度线段。无公度概念在古希腊(前500—前300)数学史上有过近两个世纪的争论，当时数学家们对无公度线段还没有认识，毕达哥拉斯学派的希帕索斯(Hippasus，(M))发现了正方形的边和对角线之间是无公度线段，使学派内大为震惊，被认为是邪说而不被承认，并将希帕索斯抛入大海处死(亦有史料说是被开除出毕达哥拉斯学派，把他当做死人，还为他建了一个墓)。直到欧多克索斯(Eudoxus，(C))通过“量”概念的引入，用几何方法去处理无公度比，才被数学界所接受。欧几里得(Euclid)的《几何原本》第五卷中的“比例论”就是基于欧多克索斯的材料而写的。由于无公度量的发现和争论促使了当时一大批数学家去研究这个问题，从而促进了当时数学的发展。

基本介绍

两条线段的公度

取一个定长线段a，分别去量两线段b、c，如果线段b、c都含有定长线段a的正整倍数而没有剩余，则线段a称为线段b、c的公度。如图1所示，，则线段a就是和的公度。

有公度的线段称为可公度线段。

不可公度线段

无公度线段亦称“不可公度线段”，也说两条辗转相截永远有剩余的线段就是无公度线段。如，(1)正方形的一边和对角线是无公度线段； (2)在一条直角边是另一条直角边二倍的直角三角形中，斜边和直角边是无公度线段；(3)底角为36°的等腰三角形的底和腰是无公度线段；(4)正三角形的边和高是无公度线段。

举例说明

定理正方形的对角线和它的边长是不可公度的，即是说的对角线不是一边的有理数倍(图2)。

我们用反证法证明，假设定理的反面成立，即假设

其中代表整数，我们自然可以假设p和q是互素的，即没有公因数，如果有，约去后就没有公因数了。

式(1)可写作

式(2)平方得

由勾股定理，，代人式(3)并约去得

式(4)左端能被2除尽，于是p只能是偶数，命

其中表示整数，则

即

仿上面得出q也必然是偶数：。

照此说来，若定理反面成立，p和q并非互素而有公因数2了，这矛盾反证了一个极为重要的事实：客观空间中存在不可公度的量，正方形的对角线和边就是不可公度的。

这一事实是被古希腊的哲学学派(毕达哥拉斯学派)发现的，并且给这个学派的哲学理论基础带来了巨大的冲击。这个学派很重视数学，把数学概念作为他们哲学理论的基础，他们认为“自然界的一切都可以度量，都受数的支配，一切事物的本质是数，……，在人的一切工作中，一切艺术、手艺和音乐中都可以看到数的本质和威力，数就是一切，事物的本质和基础不是物质，而是数。”

这个观点是唯心的。

正是把数(看作量与量之间的关系和度量的结果)作为自己哲学基础的毕达哥拉斯学派发现了不可公度的线段存在，他们宣布“一切都可以度量”，自然意味着度量数是当时所理解的分数，而一边等于单位的正方形的对角线却没有数的形式，这恰好与他们的哲学基础“迎头相撞”，于是他们感到惊讶，惊慌失措，禁止把无公度线段存在的发现泄露出去，但学派中一个成员泄露了秘密，被逐出学派。

真理是禁止不了的，无公度的线段存在这个事实传开了，数学前进了一大步。线段总有个长度，即有个量数，正方形的对角线的量数，既不是整数，又不是分数，就超出当时所知道的数的范围了。这种新认识的数被称为无理数。相对而言，把原来认为仅有的数称为有理数。“无理”的并不是“无理数”，而是这个命名。无理数既不是整数和有限小数，也不是无限的循环小数，就必然是无限的不循环小数。这就是线段度量的第四种情况。

不要以为度量线段才会出现无理数。例如说，铁的比重是7.8 g/cm3，有一块底面是每边1cm的正方形，而高等于这个正方形的对角线d，重量就是；由于是无理数，这块铁的重量就是无理数。

这样，人类在实践中不断发现，有所发明、创造和前进，把数的概念一步步扩大，由整数到分数，由正数到负数，由有理数到无理数，由实数到虚数，都是为实践服务的。

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