无处稠密集

数学术语

在拓扑学中，一个拓扑空间X的子集A称为无处稠密集，如果A的闭包的内部是空集。例如，整数在实数轴R上就形成了一个无处稠密集。

定义

以下定义等价。

（1）拓扑空间(X,τ)，A⊆X，称A是无处稠密的（亦称稀疏的，或称A为无处稠密集、稀疏集，疏朗集），当且仅当A的闭包的内部是空集。或者说，A是无处稠密集，当且仅当A的闭包不含内点，或A的闭包不包含任何邻域。

（2）如果A不在X的任何一个非空开子集中稠密，就称A是无处稠密集。即对于X的任意一个非空开子集E，A在E中都不稠密。对于X的任意一个非空开子集E，A在E中稠密即是指对任意x∈E以及任意ε>0，邻域B(x,ε)中都有A的点。因此无处稠密的意思就是指，对于X的任意一个非空开子集E，存在某个x0∈E以及某个ε0>0，使得邻域B(x0,ε0)中没有A的点。

注意，“对于X的任意一个非空开子集E”这个条件是必要的，即A必须在X的任何一个开子集中都不稠密，才能被称作无处稠密。如果只是某些开子集中不稠密，而在另一些开子集中稠密，这不叫做无处稠密集。

证明：（1）推（2），设A的闭包不含内点，那么对X的任意一个非空开子集E，集合。这是因为假设，那么。然而E是非空开集，开集中的每个点都是内点，即A的闭包中每个点都是内点，这与A的闭包不含内点矛盾。既然，而开集与闭集（任一集合的闭包一定是闭集）的差集仍是开集，可知是开集。根据U是开集的事实可知，存在某个x0∈U⊆E以及某个ε0>0，邻域B(x0,ε0)⊆U。再根据差集的定义，U中不含的点，因此B(x0,ε0)也不含的点。然而，不含的点即意味着不含A的点，结合E的任意性即可得到：对于X的任意一个非空开子集E，存在某个x0∈E以及某个ε0>0，使得邻域B(x0,ε0)中没有A的点。

（2）推（1），反证法，假设A的闭包含有内点，或A的闭包包含了某个邻域E，此时E中任意一点都属于A的闭包。根据闭包的定义，A的闭包中的点均满足：任意一点的任何一个邻域与A的交集都非空。因为E中任意的点都属于A的闭包，所以E中任意一点的任意一个邻域与A的交集非空，这就表示A在E中稠密。然而，这与A是无处稠密集矛盾。

性质

（1）若E在X中无处稠密，则也在X中无处稠密，反之亦然。

这是因为若E是无处稠密集，则无内点。因为是闭集，所以，所以无内点。而无内点就意味着是无处稠密集。反之亦然。

（2）E在X中无处稠密的充要条件是在X中稠密。

必要性：设E在X中无处稠密，，要证明U在X中稠密，只需要证明。根据闭包和内部的对偶性，，因此U在X中稠密，即在X中稠密。

充分性：设在X中稠密，，则。两边取补集，，即E的闭包不含内点，因此E在X中无处稠密。

注意，E在X中无处稠密也可推出Ec在X中稠密，按照必要性的推理过程，要证Ec稠密，只要证，亦即。若假设E含内点，则存在内点p的某个邻域B(p)，使得，即含有邻域，这与E是无处稠密集矛盾。因此，即Ec在X中稠密。这也就是说，无处稠密集的补集一定是稠密集。

但稠密集的补集不一定是无处稠密集，例如有理数集Q在R中稠密，但有理数集的补集，即无理数集并不无处稠密，事实上无理数集也是个稠密集。

例子

例如，整数在实数轴R上就形成了一个无处稠密集。这是因为数轴上任何一个开区间，只要取某个子区间落在任意两个整数之间，那么这个子区间不包含任何整数点，因此整数集Z在R内无处稠密。

注意运算的次序是很重要的，内部的闭包为空，不代表闭包的内部也为空。例如，有理数集Q，它没有内点，因为无理数集的稠密性，不存在这样的有理数p，使得p的某个邻域上全部是有理数，因此Q的内部是空集。而空集是闭集，Q的内部的闭包（注意不是“闭包的内部”）就是空集本身。但Q不是无处稠密集，实际上，它在R上是稠密的，正好相反。

无处稠密与周围的空间也有关：有可能把一个集合考虑为X的子空间时就是无处稠密的，但考虑为Y的子空间时，就不是无处稠密的。显然，一个集合在它本身中总是稠密的。

开集和闭集

一个无处稠密集不一定是闭集（例如，集合在实数集上是无处稠密集），但一定是包含在一个无处稠密的闭集（即它的闭包）内。确实，一个集合是无处稠密集，当且仅当它的闭包是无处稠密集。

无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集，因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。

测度为正数

一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如，如果X位于单位区间[0,1]，不仅有可能有勒贝格测度为零的稠密集（例如有理数集），也有可能有测度为正数的无处稠密集。

例如（一个康托尔集的变体），从[0,1]内移除所有形为a/2n的最简二进分数，以及旁边的区间[a/2n−1/22n+1,a/2n+1/22n+1]；由于对于每一个n，这最多移除了总和为1/22n+1的区间，留下的无处稠密集的测度就至少是1/2（实际上刚刚大于0.535……，因为重叠的原因），因此在某种意义上表示了[0,1]的大多数空间。

把这个方法进行推广，我们可以在单位区间内构造出任意测度小于1的无处稠密集。

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