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无条件基

与级数的无条件收敛概念紧密相关的基

无条件基(unconditional base)是一种与级数的无条件收敛概念紧密相关的基。亨内费尔德(J.Hennefeld)于1973年证明了对于巴拿赫空间的无条件基，只有下列三种可能情况：没有，仅有一个(在等价意义下)，有不可数个。林登斯特劳斯(J.Lindenstrauss)和齐平(M.Zippin)指出，如果巴拿赫空间X有惟一的无条件基(在等价的意义下)，那么X必定线性同胚于空间c0，l或l2中的一个。因此，在线性同胚意义下，有而且只有巴拿赫空间c0，l或l2有惟一的无条件基。

定义
Banach空间的基称为无条件基，如果对任何，级数是无条件收敛的。相应地，可定义无条件基序列。
相关定理
定理1 若是Banach空间的基，则下列等价：
(1) 是无条件基。
(2) 对正整数的每个置换，是无条件基。
(3)若是收敛的，则对正整数集N的每个子集，是收敛的。
(4)若是收敛的，则当时，是收敛的。
定理2 若是的一个无条件基(或无条件基序列)，是正整数集的一个子集，定义
(相应地，)(相应地，)
则是有界线性投影。
定义1如定理2中定义的算子称为关于无条件基(相应地，无条件基序列)的自然投影。容易看到，当时，与前面定义的关于基(相应地，基序列)的自然投影是相同的。
定理3若是X的一个无条件基(或无条件基序列)，是一个符号选取(即)。定义：
(相应地，)(相应地，)
则为一个有界线性算子。
定理4对如上定义，，有下列成立：
(1) 若，则。
(2) 若是两个符号选取，则
其中。
(3)。
定义2若是Banach空间X的无条件基(或无条件基序列)，是如上定义的，则称数为的无条件基(相应地，无条件基序列)常数。
容易看到，无条件基常数不小于基常数。
命题1若是X的无条件基，则存在X上一个等价范数，使的无条件基常数等于1。
命题2若是X的一个具无条件基常数K的无条件基，则相应坐标泛函是的一个无条件基序列，它具无条件基序列常数，不超过K；当是的基时，等于K。
有了这些准备工作之后，我们开始讨论，当X具无条件基时，X将具有什么性质。
定理5若X是具有无条件基的Banach空间，则下列等价：
(1) 基是有界完备的。
(2) X是w序列完备的。
(3) X没有闭子空间线性同胚于。
引理1若是Banach空间X的无条件基，它的无条件基常数是K，则对于使得收敛的数列及有界数列，有
注：当X是实Banach空间时，上式的右边2K可用K来代替。
引理2若是Banach空间的无条件基，是相应的坐标泛函，若是X中一个有界序列，使对每存在，且对每个，则
定理6若X是具无条件基的Banach空间，则下列等价：
(1) 基是收缩的。
(2) 相应的坐标泛函是的有界完备基。
(3) 相应的坐标泛函是的一个基。
(4) 是可分的。
(5) X没有闭子空间线性同胚于。
(6) 相应的坐标泛函是的无条件基。
定理7若X是具无条件基的Banach空间，则下列等价：
(1) X是自反的。
(2) X是w序列完备的，且X没有闭线性子空间线性同胚于。
(3) X没有闭线性子空间线性同胚于或。
(4) 不含闭线性子空间线性同胚于。
(5) 是可分的。
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