无穷组合论

数学术语

无穷组合论(infinitary combinatorics)亦称组合集合论.公理集合论的重要分支之一它主要研究无穷集合的各种组合性质.通常指的组合数学一般研究有穷集合的组合性质，因此可称为有穷组合论.无穷组合论最初的研究来源于有穷组合论中各种组合性质在无穷集合上的推广，如基数的运算、枚举原则、分离性理论、分划演算以及对无穷树的研究等.它们可以看做有穷组合论中关于计数、枚举、组合、分划、树等的研究在无穷集合上的自然延伸.随着公理集合论的发展，特别是可构造性理论、力迫法的产生，无穷组合论也产生了自身特有的问题，如大基数的组合性质、马丁公理等均是无穷组合论所特有的研究内容.在研究方法上，无穷组合论与有穷组合论有着明显的差异，无穷组合论通常只把基数、序数以及它们的子集作为最基本的研究对象，而不是把一般的无穷集合作为基本对象

1.基数理论.研究基数的各种运算，共尾数、正规基数、奇异基数的性质、基数的闭无界子集、驻集的性质等，这些理论是无穷组合论研究的基础.

2.分离性质.除了传统的分离簇的概念外，在无穷组合论中引人了“几乎分离簇”的概念，有关这方面的研究成果在无穷组合论、力迫法以及集合论拓扑等领域中都有非常重要的应用.

3.组合原则.无穷组合论中，把某些具有重要意义且与ZF (C)系统相容的组合论命题称为组合原则(参见“组合原则”).组合原则一方面为解决许多重要的数学问题，如苏斯林假设、库雷巴假设以及为拓扑学中的重要问题提供了一种有力工具，另一方面也促进了可构造性理论、大基数理论、力迫法的发展.

4.无穷树的理论.是组合学中树的概念被推广到无穷的情形，由于树可以看做序数的一种推广形式，因此，树已经成为研究序数、基数的一个强有力的工具.另外，著名的苏斯林问题被表述成树的形式，更激发了人们对树的性质的研究.目前关于无穷树的研究已成为无穷组合论最重要的分支之一，其研究主要集中于对苏斯林树、阿龙扎扬树、库雷巴树及它们的推广形式上.

5.分划演算.指研究无穷集合的分划性质.目前的研究，主要集中于对拉姆齐问题的各种推广形式.许多研究成果在大基数理论、拓扑学等方面有着重要的应用.

6.马丁公理.马丁公理(MA)的研究，源出于给连续统假设一个较弱的形式.连续统假设(CH)断言，在。与2‘之间不存在基数，而马丁公理断言，若-I CH成立，则任何小于2‘的无穷基数K具有类似于。的一些性质.以色列学者索洛韦（Solovay , R.M.）与特纳鲍姆(Tennenbaum, S.)证明马丁公理加连续统假设的否定与ZFC系统相容.有些数学家认为马丁公理比连续统假设更“切合实际”.马丁公理不仅可以看成是连续统假设的减弱形式，它也常被用来作为证明某些命题相容性的工具，而避免直接用力迫法.马丁公理有大量重要推论，它们在拓扑学、代数学中有非常广泛的应用.

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