无限深方形阱

量子力学领域术语

在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又复杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。

简介

在经典力学里，应用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的概率是均匀的。

在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，应用薛定谔方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛定谔方程的能量本征函数，是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0 ，而是一个有限值，称为零点能量。这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。

在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。

这问题的薛定谔方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。

无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：

不论这问题有多么地简单，由于能够完全地解析其薛定谔方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。

一维阱

一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为L。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（x方向）。一维无限深方形阱的本征函数与本征值分别为

其中，是正值的整数，h是普朗克常数，m是粒子质量。

导引

一维不含时薛定谔方程可以表达为

其中，是复值的、不含时间的波函数，V(x)是跟位置有关的位势，E是正值的能量。

在阱内，位势V(x)=0。一维不含时薛定谔方程约化为

这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数与本征值E是

其中，A与B是常数，可以是复值，k是实值的波数（因为E是正值的，所以，k必须是实数。）。

为了求得一般解的常数A，B，与波数k的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的概率越小。在x=0 ，x=L两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的概率是微乎其微：。所以，边界条件是

代入方程 (3a) 。在x=0，可以得到

在x=L，可以得到

方程 (6) 的一个简易解是A=0。可是，这样，波函数是。这意味着一个不可能的物理答案：粒子不在阱内。所以，不能接受这简易解。设定，则。那么，必须要求

其中，整数n>0。

注意到n=0状况必须被排除，因为，不能容许波函数是的物理答案：粒子不在阱内。

为了求得A值，波函数需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：

常数A的值为

常数A可以是任何复数，只要绝对值

最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值（能级）是

如同前面所述，此问题只容许量子化的能级。由于，最低的能级，称为零点能量，大于 0 。这答案可以用不确定原理解释。因为粒子束缚于有限的区域，位置变异数有上界。所以，粒子的动量的变异数大于 0 ，粒子必须拥有能量。这能量随着阱宽的减小而增加。

很重要的一点是，虽然表达粒子量子态的能量本征函数，其能量只能是离散能级谱中的一个能级。这并不能防止粒子拥有任意的能量，只要这能量大于零点能量。根据态叠加原理，粒子的量子态，可以是几个能量本征函数的叠加。当测量粒子的能量时，测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。由于测量会造成波函数坍缩，不能对同一个粒子做多次的测量，而指望得到有意义的答案。必须假设准备了许多同样的系统。对每一个系统内的粒子，做同样的测量。虽然，每一次的测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

启发导引

能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：

其中，是波长，n是正值的整数。

应用德布罗意假说，粒子的动量p是

代入联系能量与动量的经典公式，则可以得到系统的能量本征值。

二维阱

一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在x与y方向，分别为，。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（x与y方向）。二维无限深方形阱的本征函数与本征值分别为

其中，与是正值的整数。

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