时域有限差分法

时域有限差分法的基本思想是用中心差商代替场量对时间和空间的一阶偏微商, 通过在时域的递推模拟波的传播过程, 从而得出场分布。它最早由 K.S.Yee 于 1966 年提出，在此之后的 20 年内，其研究进展缓慢，只是在电磁散射、电磁兼容领域有一些初步的应用。自 80 年代末，时域有限差分法成为电磁场数值计算的重要方法之一。在声学数值计算中，时域有限差分法已应用于水声学、噪声控制及室内声学等方面的数值模拟。

时域有限差分法(Finite difference time domainmethod， FDTD)直接离散时域波动方程，不需要任何形式的导出方程，故不会因为数学模型而限制其应用范围。它的差分格式中包含有介质的参量，只须赋予各网格相应的参量，就能模拟各种复杂的结构，这是时域有限差分法的一个突出优点。另外，由于时域有限差分法采用步进法进行计算，故能很容易地实现各种复杂时域宽带信号的模拟，而且可以非常方便地获得空间某一点的时域信号波形。

超声波声场特性中的应用

超声检测是无损检测的一种重要方法，其检测结果与超声换能器的声场特性密切相关。由于声学的实际应用问题很少能有严密的理论解析解，因此，随着计算机技术的日益进步，对声场方程进行数值计算成为研究声场特性的一种重要手段。

目前，在超声波声场分析中应用较多的是Kirchhoff 积分公式以及由此得到的一系列近似公式，利用它们可以描述圆盘声源在连续波激励下声场的各特性指标：轴向声压分布、近场长度、扩散角和主旁瓣分布等。彭应秋等采用积分法通过频谱分析并进行多频率计算结果的叠加，获得了脉冲波激励下声场分布的计算结果。积分法中最新的研究还有实轴积分法和二维谱技术。实际检测过程中，大多用脉冲信号对换能器进行激励，而且检测信号多以时域信号形式存在，积分法进行相应分析比较困难，积分法中传播介质的声参数一般是不变的，而且主要应用于无限自由空间假设下的声传播问题，这就限制了其应用范围。采用数值计算方法的声场研究较少，何存富等]采用数值计算方法分析了空心圆柱体中周向超声导波的传播和频散特性。杜三虎等应用条纹单元法(Strip element

method, SEM)对多层复合材料板中的脱粘缺陷进行了数值仿真研究。水浸法是超声检测中经常采用的一种检测方式，而且其声场特性可以推广到其他介质中。

吸收边界条件

由于计算机内存容量和计算速度的限制，FDTD 计算只能在有限区域进行，为了模拟超声波在更大区域内的传播过程，需要在区域的边界处设置吸收边界条件，起到吸收入射波的作用，尽量不产生反射波。常用的吸收边界条件有 MUR吸收边界，近几年在电磁场及地震波模拟中应用较多的是完全匹配层(Perfect matched layer， PML)吸收边界，主要是因为完全匹配层具有更好的吸收效果，理论上可以实现边界的完全吸收。 PML 吸收边界条件最初被BERENGER应用于麦克斯韦电磁场方程的数值模拟，后来被许多研究者扩展到声波、弹性波等其他波场数值模拟过程中，且同样取得了较好的效果。COLLINO 等把 PML 吸收边界条件应用到了一阶速度—应力弹性波方程中。

通过在 FDTD 区域截断边界处设置一种特殊介质层，该层介质的波阻抗与相邻介质的波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿过分界面进入 PML层。而且， PML 层为有耗介质，进入 PML层。

PML 边界吸收

假设介质为水， c0=1 500 m/s， ρ0=1 g/mm3，计算参数选为： Δx = Δz = 50 μm， Δt = 10 ns。给计算区域中心处的 vx 值施加激励信号，频率为 1 MHz，共 5 个周期的正弦波。吸收层厚度为 10Δx，反射系数 R=0.001。经过 PML 吸收边界处理前后的 t=10 μs 时刻声压 p 分布情况。经过 PML 边界吸收后，反射波受到了极大的抑制，但仍有极弱的反射波，这可以通过增加吸收层厚度、调整阻尼函数等措施来增强吸收效果。此外，有限差分数值计算过程中的频散问题对 PML 吸收边界条件的吸收效果也有影响，若采用交错网格高阶有限差分，也可提高PML 吸收边界条件的吸收效果，但相应的计算量也将大大增加。

吸收圆盘声源声场特性分析：圆盘声源的声场特性具有轴对称性，可以取其中轴平面的声场分布来分析其特性。对圆盘声源的模拟是通过假定其发射面为一个面阵，激发波形为幅值和相位相同的正弦波。

脉冲波激励聚焦换能器声场特性分析：应用 FDTD 方法，不仅可以方便地计算任意波形激励的超声波声场，而且能够分析聚焦声场的特性。聚焦换能器脉冲波声场中近场区域干涉叠加效应要明显弱于平面声源声场，能量集中在聚焦区域内，这与实际聚焦换能器的声场特性基本一致。

因而，（1）时域有限差分法可用于超声波声场的特性分析中，算法易于实现，可获得理想的计算结果。(2) 完全匹配层方法可以有效地满足 FDTD 方法对吸收边界处理的要求，但在实际分析计算中，必须选择合适的 PML 边界参数。(3) 计算结果和试验数据说明，时域有限差分法可以很好地模拟脉冲波等波形激励条件下声场的分布情况，提供了一种声场分析的新方法。

在室内声场模拟中的应用

随着计算机技术和信号处理技术的发展，室内声场模拟技术逐渐成熟，采用基于几何声学虚声源法、声线跟踪法及二者结合的混合法只适应于对室内声场中高频部分的模拟。对于室内声场的低频部分以及小室内空间，声波的波动效应如声波的衍射和干涉现象、房间模态或共振效应更显著，需要采用波动声学方法来模拟。常用的基于波动声学的室内声场模拟方法有：有限元法(FEM)、边界元法(BEM)、时域有限差分法、数字波导网格法(DWM)等。有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理(变分或加权余量法)，将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。边界元法是应用格林函数公式，通过选择适当的权函数把空间求解域内的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程。它把求解区中任一点的求解变量(如声压)与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。时域有限差分法是将所需求解的声波振动方程的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单。数字波导网格法以时间和空间离散为基础，离散的点称为节点，节点之间通过单位延迟长度的双向数字波导相连，形成数字波导网格。根据节点处的声压等于该节点输入声压和输出声压之和、在连接点处总的输入和总的输出体积速度之和为 0以及连接点处阻抗连续等条件求出散射连接点处的声压。这些基于波动声学的室内声场模拟方法各有优缺点。有限元方法适合处理复杂区域，精度可选。缺点在于内存和计算量巨大。边界元相对于有限元来说，在相同离散精度的条件下，边界元解的精度要高于有限元。虽然边界元法单元数、未知量个数少、方程组阶次低，但方程组的系数矩阵不对称并为满阵，有时是近似的奇异阵，求解这类方程组的方法受到限制。时域有限差分法直观，理论成熟，精度可选，易于编程，易于并行，但存在色散误差以及不规则区域处理繁琐。

近年发展起来的网格生成可以使 FDTD 法适用于不规则区域。数字波导网格法主要用于乐器的物理模拟]，近年也应用于室内声学模拟，它的优点是理论简单、直观，易于编程计算，缺点与时域有限差分法相似，存在色散误差以及不规则区域处理繁琐。数字波导网格法是特定条件下的时域有限差分法，即在此条件下，二者等价。对于室内声场模拟，数字波导网格法和时域有限差分法可将室内声场传播过程直观地再现出来，直接得到确定厅堂声学中声音质量的房间脉冲响应。

近年来许多学者采用该方法研究扩散体对室内声场的扩散效果、混响室的最佳声场模拟以及室内声场中声传播、反射、扩散、散射以及衍射等现象的可视化、多通路声场模拟可听化等。

(1) 室内声场中低频段房间脉冲响应的模拟计算。 Botteldooren 应用时域有限差分法计算一厅堂的中低频段的房间脉冲响应，对大的中心区域采用 Cartesian 网格的 FDTD 公式计算，而在边界个别区域采用 Voronol 单元的 FDTD 公式计算，同时对边界条件、色散误差和稳定性进行了探讨，结果表明，时域有限差分法在低频及中频段是室内声场模拟的有力工具。 Yokota, Sakamoto 和 Tachibana 采用时域有限差分法计算比较了矩形、扇形、椭圆形等房间有无扩散处理时的房间脉冲响应，结果表明，经扩散处理后的房间脉冲响应变得更密而平滑，主观听音结果更自然。

(2) 室内声场中一些比较特殊的现象的模拟计算分析，如坐席低谷效应，扩散体的声扩散效果等。 Lovetri、 Mardare、 Soulodre 采用时域有限差分法对座椅吸声低谷现象进行模拟，他们采用 5cm网格对一长宽高分别为 24.5m、3.5m和 4.25m的房间进行划分，得到 2915500 个网格单元。模拟结果表明，在同一水平面上，随着场点与声源间座椅排数的增加，座椅吸声的低谷效应更加明显；在同一座椅位置，随着接收点与地面距离的增加，座椅吸声低谷效应逐渐减弱。而且，他们还采用时域有限差分法模拟了声源高度及掠射角度对座椅吸声低谷效应的影响。另有研究者采用时域有限差分法对不同的混响室形状、分布不同的扩散体对混响室声场分布的影响进行分析比较，得到了一些有意义的结果。

(3) 室内声场中声传播、反射、扩散、散射以及衍射等现象的可视化研究。由于时域有限差分法是在时域直接进行计算，使各种声学现象，如声传播、反射、扩散、散射以及衍射等的可视化成为可能。日本的研究者在这方面做了很多工作，分析了不同房间形状、有无扩散处理、在房间上空架设浮云板等声场分布的变化；同时他们还探讨了各种类型的声屏障对声波传播、反射及衍射等的影响。

(4) 多通路声场模拟以及对扬声器辐射声场的数值计算。 Tokita 等采用时域有限差分法探讨了一种二维多通路声重放系统，他们采用时域有限差分法计算接受点位置前后左右四个方向的房间脉冲响应，然后在消声室以听音者为圆心、半径为2m 的圆周上布置前后左右四个扬声器，重放先前计算的房间脉冲响应，以实现室内声场模拟的可听化，为心理声学实验提供了有力的工具。

从上面可以看到，时域有限差分法在中低频室内声学问题的分析过程中，为室内声场数值计算提供了一个有用的工具和方法。它可以成功地模拟室内声学的各个方面，并可很方便地实现声场可视化。

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