星形集

数学领域术语

星形集(star set)是一类比凸集更广泛的子集。设E是d维实仿射空间X中的一个子集。x∈E，若对任意的y∈E，有[x，y]E，则称E是一个在x处的星形集。

概念

星形集(star set)是一类比凸集更广泛的子集。设E是d维实仿射空间X中的一个子集。x∈E，若对任意的y∈E，有[x，y]E，则称E是一个在x处的星形集。一个凸集在其每一点处都是星形集。星形集是连通的，并且是弧连通的。设A是d维欧几里得空间X中的一个紧集，并且对于任意的：

存在y∈X，使得[xi，y]A对于任意的i=1，2，…，d+1成立，则A是一个星形集。

集合

集合是现代数学的一个重要的基本概念。当我们把一组确定的事物作为整体来考察时，这一整体就叫做集合。

例如，(1)从1到10这10个自然数的全体；(2)小于100的所有质数的全体；(3)全体自然数；(4)一个班所有学生这一整体；(5)世界上所有国家组成的一个整体；等等，它们都是集合的例子。

上述例子可以看出，它们都是分别由不同的对象组成的一个整体，它们的特点是有确定的对象和具有一定的范围。所以集合这个概念可以用以下的语言来描述：

集合是具有一定范围的、确定的对象的全体。集合也简称为集。

在数学中，集合是一个不加定义的“原始概念”。这就是说，不能用比它更原始的概念去定义它。因此，集合在数学中被作为原始的最基本的概念来定义其它数学概念。集合是数学概念的出发点。

集合概念具有以下一些属性：

(1)集合指的是一类事物的整体，而不是指其中的个别事物。

(2)集合中的任一对象具有确定性，即对于任何事物，可以通过某种法则确定其是否属于某集合，或不属于某集合，二者必居其一。(应指出，不具有这条属性的，界限不清的集合是模糊集合。我们这里所说的集合不是模糊集合，而是普通集合。)

(3)在一般情况下，约定一个集合中的各个对象是互不相同的。凡一个集合中所有相同的对象均应合并起来成为一个对象。例如，由1，1，2，2四个数组成的集合，应变成由1，2两个数组成的集合。

(4)在一般情况下，集合只与组成它的成员有关，而与它的成员的顺序无关。如由1，2，3，4组成的集合与由2，1，4，3组成的集合是同一个集合。

(5)一个集合不必由同一类事物作为它的对象。例如，由2， 3，a，b可以组成一个集合。

集合一般用大写字母A，B，C，…表示。

子集

子集是表示一个集合与另一个集合的一种关系。

设A和B是两个集合，若集合B包含A，或集合A包含于B，即A⊆B或B⊇A，则把集合A叫做集合B的子集，并把集合B叫做集合A的扩张集(或母集)，简称扩集。

例如，集合A={1，2}是集合B={1，2，3，4，5}的子集；再如，设集合A={a|a为直角三角形}，集合B={a|a为三角形}，则A就是B的子集，B是A的扩集。

根据子集的定义和包含关系的性质，有：

①任何一个集合都是它自身的子集，同时也是它自身的扩集；

②空集Φ是一切集合的子集；

③设A，B，C是三个集合，若A是B的子集，B又是C的子集，则A也一定是C的子集。

若一个集合A是集合B的且异于B的子集，则称A是B的真子集，B叫做A的真扩集，记作A⊂B或B⊃A。

根据真子集的定义，有：

①若集合A是集合B的真子集，则A的每一个元素都属于B，但B中至少有一个元素不属于A；

②空集Φ是任何非空集合的真子集，任何非空集合都是空集Φ的真扩集；

③任何一个集合A都不是它自身的真子集。

凸集

一类特殊的点集。若对于点集M中任意两点A和B，线段AB上的每一点都属于点集M，则M就叫做凸集。

根据凸集的定义可知，平面、半平面(包括开半平面和闭半平面)、带形区域、直线、射线和线段等都是凸集。

还可以证明，凸多边形区域、圆域、椭圆域等都是凸集。

另外约定，空集Φ和只含一个点的点集都是凸集。

若M1，M2是任意两个凸集，则它们的交集M=M1∩M2也是凸集。这个结论也可以推广到任意多个凸集的情况，即若M1，M2，…，Mn是任意n个凸集，则它们的交集也是凸集。

M=M1∩M2∩…∩Mn

凸集的概念主要用于覆盖问题。例如，当两个点集M，N的点之间可以建立起一一对应，并且对于点集M中的任意两点A，B和点集N中对应的两点A′B′，有AB/A′B′=k(k为正常数)时，就称点集M与N为相似点集。若点集M与N相似，M的直径大于N的直径，并且M是凸集，则点集M能覆盖点集N。

仿射空间

仿射空间是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

从基本数学概念上来说，一个坐标系对应了一个仿射空间 (Affine Space)，当矢量从一个坐标系变换到另一个坐标系时要进行线性变换(Linear Transformation)。对点来说，要进行仿射变换(Affine Transformation)。这就是我们利用同源坐标的理由。它能在对矢量进行线性变换的同时对点进行仿射变换。坐标变换的基本操作就是将变换矩阵乘以矢量或点。

仿射空间是没有起点只有方向与大小的向量所构成的向量空间。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点p才是原点。现求两个向量a和b的和。乙画出 p到a和 p 到b 的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量 a + b。但是甲认为乙画出的是向量p+(a − p) + (b − p)。同样的，甲和乙可以计算向量a和b的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。

具有仿射结构的集合就是一个仿射空间。

欧几里得空间

简称欧氏空间。既是几何学的研究对象，又是代数学的研究对象。在几何学中，欧氏空间是满足全部欧几里得公理的几何空间。它的几何是研究几何图形的度量性质和度量不变量的欧几里得几何(简称欧氏几何)，包括普通平面几何和立体几何的全部理论。

欧氏几何空间按维数的不同而有一维欧氏空间(即欧氏直线)、二维欧氏空间(即欧氏平面)和三维欧氏空间(即普通空间，在几何学中也常简称欧氏空间)。在代数学中，欧氏空间是实数域上的一个线性空间，在其中规定了一个称为内积的二元实函数。欧氏线性空间的维数可以是任意的自然数。容易在同维数的欧氏几何空间与欧氏线性空间之间建立直接的联系。在欧氏几何空间中取定一点作为公共的起点，空间每一点就决定一个以该点作为终点的向量。这种向量的全体构成的集合在向量加法和数乘向量的乘法下就是一个线性空间。再以通常向量的数量积作为线性空间中向量的内积，这个线性空间就是一个欧氏线性空间。反之，在线性空间取定基底后，n维线性空间中的向量可以用n元数组作为坐标表示，再把n维欧氏线性空间的向量的坐标看做n维欧氏几何空间中建立了直角坐标系后点的坐标，这样就在n维欧氏线性空间的向量和n维欧氏几何空间的点之间建立了一一对应，并且当取后者的坐标原点作为公共的起点，由后者的每个点作为终点所决定的向量，其坐标正好与前者的对应向量的坐标相同，由其数量积所确定的欧氏线性空间，也与前者完全合一。

总之，按照以上的讨论，在同维数的几何空间和欧氏线性空间之间可以建立一一对应，并在此对应下保持着各自的几何、代数结构。这也是将后来发展的代数体系与先发展的几何体系取同一名称——欧几里得空间的原因。

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