最优分析

用数学规划和控制论方法选择最优方案所进行的数量分析

最优分析是用数学规划和控制论方法选择最优方案所进行的数量分析。其目的是为制订经济政策和作出经济决策提供依据。最优化，在数学中是指在某种类型约束下，使给定函数实现极大或极小。经济活动的最优化，通常指在一定时期内有限资源的最优分配和利用，如人、财、物资源的合理分配，生产力资源的合理布局等。分析国民经济最优的基本程序是： (1)确定国民经济整体效益的优化目标。包括社会总产值、国民收入、社会产品增长速度、财政收支、消费基金等经济指标及其他形式表示社会福利的效用函数; (2) 综合分析社会经济环境。主要考察社会生产力，人口增长率，资源利用效果，市场供求情况等制约经济发展的诸种因素; (3) 分析具体经济目标。

定义概述

经济活动最优化问题，通常是一定时期内有限的各种资源的最优分配和利用的问题。不论在宏观经济范围内，还是在微观经济范围内，都大量地存在着这类问题，如资源的充分有效利用、生产力的合理布局、最优进出口策略、最优投资分配、最优价格体系等。在研究与解决国民经济最优化问题时，首先需要确定反映国民经济整体效益的优化目标，如消费基金、国民收入、人均国民收入、社会产品增长速度、劳动生产率等经济指标以及其他形式的表示社会福利的效用函数，这些都可以被选为优化目标。其次，还必须对各种生产资源、生产能力、人口、生产技术水平等许多有关的客观限制因素加以考虑。

方法详解

最优分析采用数学方法，主要是数学规划方法（解决动态过程的最优化问题时主要是采用最优控制方法），以及运筹学中的其他方法（如对策论、决策论、统筹方法）。其目的是为制订经济政策和作出经济决策提供依据。

在数学上,最优分析就是数学规划问题,即寻求函数的条件极值的问题。寻找受某些限制的一组自变量（通常是一组表示活动水平的决策变量）的数值，以使某个取决于这些自变量的函数达到最优值（最大值或最小值）。最优分析的数学模型由目标函数和约束条件组成。如果目标函数是决策变量的线性函数，而且约束条件也是决策变量的线性等式或线性不等式，则最优分析问题是一个线性规划问题，否则就是非线性规划问题。

任何一个线性规划问题都有与之唯一等价的另一个线性规划问题，前者称为原规划问题，后者称为对偶规划问题。由于它们之间有一一对应的等价关系，所以原规划问题是它的对偶规划问题的对偶规划问题。

与标准形式的线性规划问题（其数学模型见“线性规划模型”）相对应的对偶规划问题如下：

选择y的值，借以使目标函数u=BTy达到最小，且满足下列约束条件：

函数约束ATy≥c

及

非负性约束：y≥0

式中y为对偶变量,m维列向量；C为CT的转置,n维列向量；BT为B的转置，m维行向量；AT为A的转置,（n×m）矩阵。

如果原规划问题存在着最优解（即使目标函数z达到最大的可行解），则其对偶规划问题也存在最优解（即使目标函数u达到最小的可行解）,而且这时目标函数z的最大值与目标函数u的最小值相等。正是由于有这个重要性质，对偶规划问题的最优解y*就是在原规划问题中各种资源的约束量每变化一个单位所引起的目标函数最大值z*的变化量。y*在经济意义上表示各种资源的影子价格。资源的影子价格给原规划问题中各种稀缺资源对整体目标的效用提供了一种客观的评价。

由于原规划问题的最优解和对偶规划问题的最优解是互相等价的，因此，当求解原规划问题（特别是规模很大的问题）发生计算上的困难的时候，就可以方便地用求解其对偶规划问题的办法来求得最优解。此外，还可以将原规划问题的解同其对偶规划问题的解互相核对，以检查求解的正确性。

除线性规划问题外，最优分析问题还可以是其他类型的数学规划问题，如非线性规划问题、双线性规划问题、整数规划问题、混合整数规划问题、多目标规划问题、随机规划问题等。

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